Question

已知矩形紙片OBCD，OB=2，OD=1．如圖①②，將該紙片放置在平面直角坐標系中，折疊該紙片，使頂點O與邊CD上的點E重合．

（Ⅰ）如圖①，折痕FG分別與OD、OB交于點F、G，且，求點E的坐標；
（Ⅱ）如圖②，折痕FG分別與CD、OB交于點F、G，過O、D、E三點的圓恰與直線BC相切于點N，OE與FG交于點P．
①求點E的坐標；
②求折痕FG的長．

Answer 1

【答案】分析：（I）首先求出DF的長，進而利用勾股定理得出DE的長，即可得出E點坐標；
（II）①首先證明四邊形OBNM是矩形，進而得出△OMP∽△ODE，利用勾股定理求出DE的長，即可得出E點坐標；
②首先得出△EFP∽△EOD，進而得出PF的長，再利用△FEP≌△GOP，即可得出折痕FG的長．
解答：解：（Ⅰ）∵OD=1，，
∴．
∵折疊后點O與點E重合，
∴△EFG≌△OFG．
∴．
∵四邊形OBCD是矩形，
∴∠ODC=90°．
在Rt△DEF中，．
∴點E的坐標為（，1）．                   

（Ⅱ）①如圖所示，連接NP，并延長交OD于點M，
∵折疊后點O與點E重合，且FG是折痕，
∴PO=PE．
∵∠ODC=90°，
∴OE是過O、D、E三點的圓的直徑，點P是圓心．
∵BC切⊙P于點N，∴∠DOB=∠OBC=∠BNM=90°．
∴四邊形OBNM是矩形．
∴MN=OB=2，且MN∥OB．
∵DC∥OB，∴DC∥MN．
∴△OMP∽△ODE．
∴．
∴．
設DE=x，則，．
在⊙P中，，
∴OE=2PE=4-x．
在Rt△ODE中，由OD²+DE²=OE²，
得1²+x²=（4-x）²．
解得．
即．
∴點E的坐標（，1）．                   

②．
∵折疊后點O與點E重合，且FG是折痕，
∴OE⊥FG．
∴∠EPF=∠EDO=90°．
∵∠FEP=∠OED，
∴△EFP∽△EOD．
∴．
∴．
∵DC∥OB，
∴∠FEP=∠GOP，∠EFP=∠OGP．
，
∴△FEP≌△GOP（AAS）．
∴FP=GP．
∴．
∴折痕FG的長是．
點評：此題主要考查了圓的綜合應用以及相似三角形的判定與性質以及全等三角形的判定等知識，根據相似三角形的性質得出PF的長是解題關鍵．