Question

兩個全等的直角三角形ABC和DEF重疊在一起，其中AB=2，AC=1．固定△ABC不動，將△DEF進行如下操作：
（1）如圖1，△DEF沿線段AB向右平移（即D點在線段AB內移動），連接DC、CF、FB，四邊形CDBF的形狀在不斷的變化，但它的面積不變化，請求出其面積；
（2）如圖2，當D點移到AB的中點時，請你猜想四邊形CDBF的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據平移的性質，可得AD=BE，CF∥BD．所以三角形ACD的面積等于三角形BEF的面積，則梯形的面積就等于直角三角形ABC的面積；
（2）根據直角三角形一邊上的中線等于斜邊的一半，以及平移的性質可以證明該四邊形的四條邊相等，則該四邊形是菱形．
解答：解：（1）根據平移的性質得到：AD=CF=BE．CF∥BD．
∴?ACFD與?BCFE的底邊相等，且高相等，
∴S_?ACFD=S_?BCFE，
又∵CD與BF分別為兩平行四邊形的對角線，
∴S_△ACD=S_△FCD=S_△CFB=S_△EFB，
∴S_△ACD=S_△BEF．
∵在Rt△ABC中，AB=2，AC=1，
∴∠ABC=30°，
∴BC==，
∴S_梯形CDBF=S_△ABC=×1×=；

（2）在直角三角形ABC中，AD=BD，則CD=BD，
根據平移的性質，得CF=BD，CD=BF，
∴CD=BD=CF=BF，
∴四邊形CDBF是菱形．
點評：熟悉平移的性質和直角三角形的性質．注意：兩條平行線間的距離處處相等．