Question

學習數學應該積極地參加到現實的、探索性的數學活動中去，努力地成為學習的主人．如圖，請你探究：隨著D點位置的變化，∠BDC與∠A的大小關系．（①、②問用“＞”表示其關系，③、④、⑤問用“=”表示其關系）

（1）如圖①，點D在AC上（不同于A、C兩點），∠BDC與∠A的關系是

∠BDC＞∠A

；
如圖②，點D在△ABC內部，∠BDC與∠A的關系是

∠BDC＞∠A

；
如圖③，點D是∠ABC，∠ACB平分線的交點，此時∠BDC與∠A的關系是

∠BDC=90°-

1

2

∠A

；
如圖④，點D是∠ABC的平分線和∠ACB外角平分線的交點，∠BDC與∠A的關系是

∠D=

1

2

∠A

；
如圖⑤，點D是∠ABC與∠ACB兩外角平分線的交點，∠BDC與∠A的關系是

∠BDC=90°-

1

2

∠A

．
（2）證明圖④的結論；
（3）證明圖⑤的結論．

Answer 1

分析：（1）①②根據三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內角解答；
③先根據三角形的內角和定理用∠A表示出∠ABC+∠ACB，再根據角平分線的定義表示出∠DBC+∠DCB，然后根據三角形的內角和定理列式整理即可得解；
④根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和以及角平分線的定義兩次表示出∠1，然后列式整理即可得解；
⑤根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和列式以及角平分線的定義表示出∠1、∠2，然后根據三角形的內角和定理列式整理即可得解．

解答：解：（1）①∠BDC＞∠A；

②∠BDC＞∠A；

③在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∵點D是∠ABC，∠ACB平分線的交點，
∴∠DBC=

1

2

∠ABC，∠DCB=

1

2

∠ACB，
∴∠DBC+∠DCB=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=90°-

1

2

∠A，
在△BDC中，∠BDC=180°-（∠DBC+∠DCB）=180°-（90°-

1

2

∠A）=90°+

1

2

∠A，
即，∠BDC=90°+

1

2

∠A；

④∵CD是△ABC的外角平分線，
∴∠1=

1

2

（∠A+∠ABC）=

1

2

∠A+

1

2

∠ABC，
∠1=∠D+∠DBC，
∴

1

2

∠A+

1

2

∠ABC=∠D+∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=

1

2

∠ABC，
∠D=

1

2

∠A；

⑤∵點D是∠ABC與∠ACB兩外角平分線的交點，
∴∠1=

1

2

（∠A+∠ACB），∠2=

1

2

（∠A+∠ABC），
∴∠1+∠2=

1

2

（∠A+∠ACB）+

1

2

（∠A+∠ABC）=∠A+

1

2

（∠ACB+∠ABC），
在△ABC中，∠ACB+∠ABC=180°-∠A，
∴∠1+∠2=∠A+

1

2

（180°-∠A）=90°+

1

2

∠A，
在△BCD中，∠BDC=180°-（∠1+∠2）=180°-（90°+

1

2

∠A）=90°-

1

2

∠A，
即∠BDC=90°-

1

2

∠A．
故答案為：①∠BDC＞∠A；②∠BDC＞∠A；③∠BDC=90°-

1

2

∠A；④∠D=

1

2

∠A；⑤∠BDC=90°-

1

2

∠A．

點評：本題考查了三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，三角形的內角和定理，角平分線的定義，熟記性質并準確識圖是解題的關鍵．