Question

如圖，已知矩形ABCD的邊長AB=2，BC=3，點P是AD邊上的一動點（P異于A、D），Q是BC邊上的任意一點. 連AQ. DQ，過P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F。
（1）求證：△APE∽△ADQ；
（2）設AP的長為x，試求△PEF的面積S_△PEF關于x的函數關系式，并求當P在何處時，S_△PEF取得最大值？最大值為多少？
（3）當Q在何處時，△ADQ的周長最��？（須給出確定Q在何處的過程或方法，不必給出證明）

Answer 1

解：（1）證明∠APE=∠ADQ，∠AEP=∠AQD（過程“略”）
（2）注意到△APE∽△ADQ與△PDE∽△ADQ，及S_△PEF=
得S_△PEF==
∴當，即P是AD的中點時，S_△PEF取得最大值。
（3）作A關于直線BC的對稱點A'，連DA'交BC于Q，則這個點Q就是使△ADQ周長最小的點，此時Q是BC的中點