Question

如圖，在平面直角坐標系中，以坐標原點O為圓心的⊙O的半徑為-1，直線l：y=-x-分別與x軸、y軸交于A、C兩點，點B的坐標為（4，1），⊙B與x軸相切于點M．
（1）求點A的坐標及∠CAO的度數；
（2）⊙B以每秒1個單位長度的速度沿x軸負方向平移，那么經過多長時間⊙B與⊙O第一次相切？
（3）在⊙B移動的同時，直線l繞點A順時針勻速旋轉．當⊙B第一次與⊙O相切時，直線l也恰好與⊙B第一次相切．問：直線AC繞點A每秒旋轉多少度？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據當y=0時，x=-，得出A點坐標即可，再利用當x=0時，y=-，得出OA=OC，進而求出∠CAO的度數；
（2）利用切線的性質定理首先得出MN=t，OB₁=-1+1=，B₁N⊥AN，再利用勾股定理得出MN的長度即可；
（3）設⊙B平移到⊙B₁處與⊙O第一次相切時，直線l旋轉到l'恰好與⊙B₁第一次相切于點P，得出∠PAN=45°，進而求出∠1=90°，即可得出直線AC繞點A每秒順時針旋轉度數．
解答：解：（1）當y=0時，x=-．
∴點A的坐標是（-，0）．
∴OA=．
當x=0時，y=-．
∴OC=．
∴OA=OC．
又∠AOC=90°．
∴∠CAO=∠ACO==45°．

（2）如圖，設⊙B平移t秒到⊙B₁處與⊙O第一次相切，
⊙B₁與x軸相切于點N，連接B₁O、B₁N，
則MN=t，OB₁=-1+1=，B₁N⊥AN．
在Rt△OB₁N中，由勾股定理，得
ON===1．
∴MN=4-1=3，
即t=3．

（3）設⊙B平移到⊙B₁處與⊙O第一次相切時，直線l旋轉到l'恰好與⊙B₁第一次相切于點P，
連接B₁A、B₁P．
則B₁P⊥AP，
∴B₁P=B₁N．
∴∠PAB₁=∠NAB₁．
∵OA=OB₁=，
∴∠AB₁O=∠NAB₁．
∴∠PAB₁=∠AB₁O．
∴PA∥B₁O．
在Rt△NOB₁中，
∵ON=B₁N，
∴∠B₁ON=45°，
∴∠PAN=45°，
∴∠1=90°．
360°-90°=270°，
∴直線AC繞點A每秒順時針旋轉的度數為270°÷3=90°．
點評：此題主要考查了圓的綜合應用以及勾股定理和一次函數與坐標軸交點求法等知識，正確利用切線的性質定理得出相關直線關系是解題關鍵．