Question

已知拋物線y=ax²-2ax-3a（a＜0）．
（1）求證：拋物線y=ax²-2ax-3a（a＜0）一定與x軸有兩個不同的交點；
（2）設（1）中的拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，點D為拋物線的頂點．
①求點A、B的坐標；
②過點D作DH⊥y軸于點H，若DH=HC，求a的值和直線CD的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）令令ax²-2ax-3a=0，證明出△＞0即可說明拋物線y=ax²-2ax-3a（a＜0）一定與x軸有兩個不同的交點；
（2）①令y=0，得 ax²-2ax-3a=0，根據a≠0，解出一元二次方程，即可得到點A、B的坐標；
②由y=ax²-2ax-3a，令x=0，得y=-3a，求出C點坐標（0，-3a），同理求出D點坐標為（1，-4a），進而證明出DH=HC=-a=1，求出a的值，設直線CD的解析式為y=kx+b，列出k和b的方程組求出k和b，直線CD的解析式即可求出．
解答：（1）證明：令ax²-2ax-3a=0．
∵a＜0，
∴△=（-2a）²-4a•（-3a）=16a²＞0，
∴拋物線y=ax²-2ax-3a（a＜0）一定與x軸有兩個不同的交點；

（2）解：①令y=0，得 ax²-2ax-3a=0．
∵a≠0，
∴x²-2x-3=0，
解得：x₁=-1，x₂=3．
∵點A在點B的左側∴點A的坐標（-1，0），點B的坐標（3，0）
②由y=ax²-2ax-3a，令x=0，得y=-3a．
∴C（0，-3a）．
又∵y=ax²-2ax-3a=a（x-1）²-4a，
∴D（1，-4a），
∴DH=HC=-4a-（-3a）=-a=1，
∴a=-1，
∴C（0，3），D（1，4），
設直線CD的解析式為y=kx+b，
把點C，點D的坐標分別代入得：，
解得 ．
故直線CD的解析式為：y=x+3．
點評：本題主要考查二次函數的綜合題的知識點，解答本題的關鍵是掌握二次函數圖象得性質和待定系數法求一次函數的解析式，此題難度不大．