Question

2．如圖，直線y=x-4與y軸、x軸分別交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)C為雙曲線y=$\frac{k}{x}$上一點(diǎn)，OC∥AB，連接BC交雙曲線于點(diǎn)D，點(diǎn)D恰好是BC的中點(diǎn)，則k的值是（　　）

• A． $\frac{16}{9}$
• B． 2
• C． 4
• D． $\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 先確定出B坐標(biāo)，根據(jù)OC∥AB，利用兩直線平行時斜率相等確定出直線OC的解析式，與反比例函數(shù)解析式聯(lián)立表示出C坐標(biāo)，再利用線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式表示出D坐標(biāo)，代入反比例解析式中列出關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．

解答 解：對于直線y=x-4，
令y=0，得到x=4，
∴B（4，0），
∵OC∥AB，
∴直線OC解析式為y=x，
y=x與反比例解析式聯(lián)立消去y得：$\frac{k}{x}$=x，
去分母得：x²=k，
解得：x=$\sqrt{k}$或x=-$\sqrt{k}$（舍去），
∴y=$\sqrt{k}$．
∴C（$\sqrt{k}$，$\sqrt{k}$），
∵D為BC中點(diǎn)，
∴D（$\frac{4+\sqrt{k}}{2}$，$\frac{\sqrt{k}}{2}$），
將D坐標(biāo)代入反比例解析式得：$\frac{4+\sqrt{k}}{2}$•$\frac{\sqrt{k}}{2}$=k，
解得：k=$\frac{16}{9}$．
故選A．

點(diǎn)評 此題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，涉及的知識有：線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式，兩直線平行時斜率滿足的關(guān)系，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，以及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，是一道中檔題．