Question

如圖，一輛汽車在直線形公路AB由A向B行駛，M、N分別是位于公路AB兩側(cè)的村莊。

 （1）設(shè)汽車行駛到公路AB上P₁點(diǎn)的位置時(shí)，距離村莊M最近，行駛到P₂點(diǎn)的位置時(shí)，距離村莊N最近，請?jiān)诠�路AB上分別作出P₁、P₂的位置；（不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）當(dāng)汽車從A出發(fā)向B行駛時(shí)，在公路AB的哪一段上距離M、N兩村都越來越近？在哪一段上距離村莊N越來越近，而距離村莊M越來越遠(yuǎn)？在哪一段上距離M、N兩村都越來越遠(yuǎn)？（分別用文字表述你的結(jié)論）
（3）在公路AB上是否存在這樣一點(diǎn)H，汽車行駛到該點(diǎn)時(shí)，與村莊M、N的距離之和最短？如果存在，請?jiān)趫D中AB上作出此點(diǎn)；如果不存在，請說明理由。（不寫作法，保留作圖痕跡）

Answer 1

解：(1) 分別過M、N兩點(diǎn)向直線AB作垂線段，垂足分別是P₁、P₂， P₁、P₂即為所求；
(2)當(dāng)汽車從A出發(fā)向B行駛時(shí)，在公路AP₁上距離M、N兩村都越來越近；在P₁、P₂上距離村莊N越來越近，而距離村莊M越來越遠(yuǎn)；在P₂B上距離M、N兩村都越來越遠(yuǎn)；

 (3) 過N點(diǎn)作直線AB的對稱點(diǎn)N'，連接MN'，線段MN'與直線AB的交點(diǎn)H，H即為所求。