Question

已知：如圖，矩形ABCD中，點E、F分別在DC，AB邊上，且點A、F、C在以點E為圓心，EC為半徑的圓上，連接CF，作EG⊥CF于G，交AC于H．已知AB=6，設BC=x，AF=y．
（1）求證：∠CAB=∠CEG；
（2）①求y與x之間的函數關系式． ②x=______時，點F是AB的中點；
（3）當x為何值時，點F是的中點，以A、E、C、F為頂點的四邊形是何種特殊四邊形？試說明理由．

Answer 1

解：（1）證明：連接EF（如圖1）
∵點A、F、C在以點E為圓心，EC為半徑的圓上，
∴EF=EC，∵EG⊥CF，∴∠CEF=2∠CEG
∵∠CEF=2∠CAB，∴∠CAB=∠CEG；

（2）（如圖2）
①連接EF、EA．設⊙E的半徑為r；
在Rt△ADE中，EA=r，DE=6-r，AD=x，
∴x²+（6-r）²=r²，r=x²+3，
∵EF=EA，∴AF=2DE，
即y=2（6-r）=-x²+6，
②點F是AB的中點時，y=3，
即-x²+6=3，∴x=；

（3）（如圖3）；
當x=時，F是弧AC的中點．此時四邊形AECF菱形；
理由如下：
∵點F是弧AC的中點，∴∠AEF=∠CEF，AF=CF，
∵AB∥CD，
∴∠AFE=∠CEF，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∵AE=EF，
∴AE=AF=CE=CF，∴△AEF和△CEF都是正三角形，
∴四邊形AECF是菱形，且∠CEF=60°，
∴∠BCF=30°，∴BF=CF=AF=AB=2，BC=．
分析：（1）連接EF，由于EG經過圓心E，且與弦CF垂直，由垂徑定理知∠CEF=2∠CEG，而圓周角∠CAF和圓心角∠CEG所對的弧正好相同，由圓周角定理知∠CEG=2∠CAF，由此得證；
（2）①設⊙O的半徑為r，連接EA、EF；由于EA=EF，那么E點在AF的垂直平分線上，因此AF=2DE，即y=2（6-r），所以只需求出r、x的關系式即可；Rt△ADE中，AD=x，用r可表示出AE、DE的長，即可由勾股定理求得r、x的關系式，由此得解；
②當F是AB中點時，AF=y=3，將其代入①的函數關系式中，即可求得x的值；
（3）當F是弧AC的中點時，EF垂直平分AC，可得AE=EC，AF=FC；易知∠AEF=∠CEF，而∠CEF和∠AFE是平行線的內錯角，等量代換后可得∠AEF=∠AFE=∠FAE，由此可證得△EAF是正三角形，由此可證得四邊形AECF的四邊都相等，即四邊形AECF是菱形；此時∠CFB=∠EAF=60°，在Rt△CFB中，易知BF=CF，而AF=FC，那么BF即為AF的一半、AB的三分之一，由此可求得BF的長，進而可得到BC（即x）的長．
點評：此題主要考查了矩形的性質、垂徑定理、等邊三角形的判定和性質、勾股定理等知識的綜合應用能力．