Question

（2004•濟寧）如圖，AD是△ABC外角∠EAC的平分線，交BC的延長線于點D．延長DA交△ABC的外接圓于點F．
（1）求證：FB=FC；
（2）若FA=2，AD=4，求FB的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲證FB=FC，可證∠FBC=∠FCB．由A、C、B、F四點共圓可知∠FBC=∠CAD，又同弧所對的圓周角相等，則∠FCB=∠FAB，而∠FAB=∠EAD，則∠FCB=∠EAD，AD是△ABC外角∠EAC的平分線，得∠CAD=∠EAD，故∠FBC=∠FCB；
（2）由（1）知，求FB的長，即可以轉化為求FC的長，聯系已知條件：告訴FA與AD的長度，即可證△FAC∽△FCD．
解答：（1）證明：∵A、C、B、F四點共圓
∴∠FBC=∠DAC
又∵AD平分∠EAC
∴∠EAD=∠DAC
又∵∠FCB=∠FAB（同弧所對的圓周角相等），∠FAB=∠EAD
∴∠FBC=∠FCB
∴FB=FC；

（2）解：∵∠BAC=∠BFC，∠FAB=∠FCB=∠FBC
∴∠FCD=∠BFC+∠FBC=∠BAC+∠FAB=∠FAC
∵∠AFC=∠CFD，
∴△FAC∽△FCD
∴FA：FC=FC：FD
∴FB²=FC²=FA•FD=2×6=36，
∴FB=6．
點評：本題主要考查了圓周角定理及相似三角形的判定．在圓中，經常利用同弧或者等弧所對的圓周角相等來實現角度的等量轉化．還要善于將已知條件與所要求的問題集中到兩個三角形中，運用三角形相似來解決問題．