Question

在平面直角坐標系中，點A、B的坐標分別為（10，0），（2，4）．
（1）若點C是點B關于x軸的對稱點，求經過O、C、A三點的拋物線的解析式；
（2）若P為拋物線上異于C的點，且△OAP是直角三角形，請直接寫出點P的坐標；
（3）若拋物線頂點為D，對稱軸交x軸于點M，探究：拋物線對稱軸上是否存在異于D的點Q，使△AQD是等腰三角形？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）關于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數，可據此求出點C的坐標；然后用待定系數法求出拋物線的解析式；
（2）根據O、A、C的坐標可知：△OAC是直角三角形，且∠OCA=90°，根據拋物線的對稱性知C點關于拋物線對稱軸的對稱點也一定符合條件，可由此寫出P點的坐標；
（3）根據拋物線的解析式可求出拋物線的頂點坐標和對稱軸方程，即可確定D點的坐標和Q點的橫坐標；設出Q點縱坐標，然后分別表示出AD、QD、QA的長；根據①QD=DA，②QD=QA，③AD=AQ；三種不同情況所得到的等量關系來求出Q點的坐標．

解答：解：（1）∵B（2，4），
∴C（2，-4）；
設過O、C、A三點的拋物線解析式為y=ax（x-10）
將C（2，-4）代入，
得a=

1

4

；
所以，拋物線解析式為y=

1

4

x2-

5

2

x；

（2）存在．P（8，-4）

（3）存在點Q使得△DQA為等腰三角形
由（1）拋物線解析式為y=

1

4

x2-

5

2

x2
可求得頂點D的坐標（5，-

25

4

）
則|AD|=

5 41

4

，若|QA|=|DA|
則由對稱性知滿足條件的Q點的坐標為（5，

25

4

），記為Q：（5，

25

4

）
若|QD|=|DA|
則結合圖形，可求得滿足條件的Q點坐標為（5，

5 41 -25

4

），（5，-

5 41 +25

4

）
記為Q₂（5，

5 41 -25

4

），Q₃（5，-

5 41 +25

4

）；
若|QD|=|QA|
則設Q（5，y），由|y+

25

4

|=

y2+25

解得y=2-

25

8

，
所以滿足條件的Q點坐標為（5，2-

25

8

），記為Q₄（5，2-

25

8

）（12分）
所以，滿足條件的點Q有Q₁（5，

25

4

），Q₂（5，

5 41 -25

4

），Q₃（5，-

5 41 +25

4

），Q₄（5，-

9

8

）四個點．

點評：此題主要考查了二次函數解析式的確定、拋物線的對稱性、等腰三角形的判定等重要知識點，在等腰三角形腰和底不確定的情況下，一定要分類討論，以免漏解．