Question

拋物線y=（x-3）（x+1）與x軸交于A，B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C，點D為頂點．

（1）求點B及點D的坐標．
（2）連結BD，CD，拋物線的對稱軸與x軸交于點E．
①若線段BD上一點P，使∠DCP=∠BDE，求點P的坐標．
②若拋物線上一點M，作MN⊥CD，交直線CD于點N，使∠CMN=∠BDE，求點M的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）解方程（x-3）（x+1）=0，求出x=3或-1，根據拋物線y=（x-3）（x+1）與x軸交于A，B兩點（點A在點B左側），確定點B的坐標為（3，0）；將y=（x-3）（x+1）配方，寫成頂點式為y=x²-2x-3=（x-1）²-4，即可確定頂點D的坐標；
（2）①根據拋物線y=（x-3）（x+1），得到點C、點E的坐標．連接BC，過點C作CH⊥DE于H，由勾股定理得出CD=，CB=3，證明△BCD為直角三角形．分別延長PC、DC，與x軸相交于點Q，R．根據兩角對應相等的兩三角形相似證明△BCD∽△QOC，則==，得出Q的坐標（-9，0），運用待定系數法求出直線CQ的解析式為y=-x-3，直線BD的解析式為y=2x-6，解方程組，即可求出點P的坐標；
②分兩種情況進行討論：（Ⅰ）當點M在對稱軸右側時．若點N在射線CD上，如備用圖1，延長MN交y軸于點F，過點M作MG⊥y軸于點G，先證明△MCN∽△DBE，由相似三角形對應邊成比例得出MN=2CN．設CN=a，再證明△CNF，△MGF均為等腰直角三角形，然后用含a的代數式表示點M的坐標，將其代入拋物線y=（x-3）（x+1），求出a的值，得到點M的坐標；若點N在射線DC上，同理可求出點M的坐標；（Ⅱ）當點M在對稱軸左側時．由于∠BDE＜45°，得到∠CMN＜45°，根據直角三角形兩銳角互余得出∠MCN＞45°，而拋物線左側任意一點K，都有∠KCN＜45°，所以點M不存在．
解答：解：（1）∵拋物線y=（x-3）（x+1）與x軸交于A，B兩點（點A在點B左側），
∴當y=0時，（x-3）（x+1）=0，
解得x=3或-1，
∴點B的坐標為（3，0）．
∵y=（x-3）（x+1）=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴頂點D的坐標為（1，-4）；

（2）①如右圖．
∵拋物線y=（x-3）（x+1）=x²-2x-3與與y軸交于點C，
∴C點坐標為（0，-3）．
∵對稱軸為直線x=1，
∴點E的坐標為（1，0）．
連接BC，過點C作CH⊥DE于H，則H點坐標為（1，-3），
∴CH=DH=1，
∴∠CDH=∠BCO=∠BCH=45°，
∴CD=，CB=3，△BCD為直角三角形．
分別延長PC、DC，與x軸相交于點Q，R．
∵∠BDE=∠DCP=∠QCR，
∠CDB=∠CDE+∠BDE=45°+∠DCP，
∠QCO=∠RCO+∠QCR=45°+∠DCP，
∴∠CDB=∠QCO，
∴△BCD∽△QOC，
∴==，
∴OQ=3OC=9，即Q（-9，0）．
∴直線CQ的解析式為y=-x-3，
直線BD的解析式為y=2x-6．
由方程組，解得．
∴點P的坐標為（，-）；

②（Ⅰ）當點M在對稱軸右側時．
若點N在射線CD上，如備用圖1，延長MN交y軸于點F，過點M作MG⊥y軸于點G．
∵∠CMN=∠BDE，∠CNM=∠BED=90°，
∴△MCN∽△DBE，
∴==，
∴MN=2CN．
設CN=a，則MN=2a．
∵∠CDE=∠DCF=45°，
∴△CNF，△MGF均為等腰直角三角形，
∴NF=CN=a，CF=a，
∴MF=MN+NF=3a，
∴MG=FG=a，
∴CG=FG-FC=a，
∴M（a，-3+a）．
代入拋物線y=（x-3）（x+1），解得a=，
∴M（，-）；
若點N在射線DC上，如備用圖2，MN交y軸于點F，過點M作MG⊥y軸于點G．
∵∠CMN=∠BDE，∠CNM=∠BED=90°，
∴△MCN∽△DBE，
∴==，
∴MN=2CN．
設CN=a，則MN=2a．
∵∠CDE=45°，
∴△CNF，△MGF均為等腰直角三角形，
∴NF=CN=a，CF=a，
∴MF=MN-NF=a，
∴MG=FG=a，
∴CG=FG+FC=a，
∴M（a，-3+a）．
代入拋物線y=（x-3）（x+1），解得a=5，
∴M（5，12）；
（Ⅱ）當點M在對稱軸左側時．
∵∠CMN=∠BDE＜45°，
∴∠MCN＞45°，
而拋物線左側任意一點K，都有∠KCN＜45°，
∴點M不存在．
綜上可知，點M坐標為（，-）或（5，12）．
點評：本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有二次函數圖象上點的坐標特征，二次函數的性質，運用待定系數法求一次函數、二次函數的解析式，勾股定理，等腰直角三角形、相似三角形的判定與性質，綜合性較強，有一定難度．（2）中第②問進行分類討論及運用數形結合的思想是解題的關鍵．