Question

已知二次函數(shù)y=ax²-2ax-3a（a＞0）．
（1）求此二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)A、B（A在B的左邊）的坐標(biāo)；
（2）若此二次函數(shù)圖象與y軸交于點(diǎn)C、且△AOC∽△COB（字母依次對應(yīng)）．
①求a的值；
②求此時(shí)函數(shù)圖象上關(guān)于原點(diǎn)中心對稱的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）已知二次函數(shù)的解析式，令函數(shù)值為零，所求的方程的解即為該函數(shù)與X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，就可以寫出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）先求出C點(diǎn)的坐標(biāo)①根據(jù)兩個(gè)三角形相似的條件，列出關(guān)于a的一個(gè)比例關(guān)系，就能求出a的值；②可先根據(jù)①寫出這個(gè)二次函數(shù)的解析式，由于所求的兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，因此設(shè)其中一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，另一點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是-t，這樣根據(jù)兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)關(guān)系，進(jìn)而求出這兩點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）令ax²-2ax-3a=0（1分）
解得x₁=-1，x₂=3（2分）
所以A（-1，0），B（3，0）．（1分）
（2）①易知C（0，-3a），由△AOC∽△COB，（1分）
則

OA

OC

=

OC

OB

，即

1

3a

=

3a

3

，（2分）
解得a=

3

3

（舍負(fù)）．（1分）
②此時(shí)函數(shù)解析式為y=

3

3

x2-

2 3

3

x-

3

，
設(shè)函數(shù)圖象上兩點(diǎn)(t，

3

3

t2-

2 3

3

t-

3

)，(-t，

3

3

(-t)2-

2 3

3

(-t)-

3

)（1分）
由兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，得：

3

3

t2-

2 3

3

t-

3

=-(

3

3

(-t)2-

2 3

3

(-t)-

3

)（1分）
解得t=±

3

，（1分）
∴這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為(

3

，-2)與(-

3

，2)．（1分）

點(diǎn)評：本題主要考查了二次函數(shù)與x軸、y軸交點(diǎn)的求法、相似三角形等知識點(diǎn)．考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)方法．