Question

【題目】如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點，過點A作AF∥BC，交BE的延長線于點F，連結CF.

（1）求證：① △AEF≌△DEB；② 四邊形ADCF是平行四邊形；

（2）若AB=AC，試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結論.

Answer 1

【答案】（1）①見解析；②見解析；（2）矩形，理由見解析

【解析】

（1）①根據AAS證明△AFE≌△DBE即可；

②利用①中全等三角形的對應邊相等得到AF=BD．結合已知條件，利用“有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”證得結論；

（2）由三線合一可證明AD⊥BC，然后根據矩形的判定方法解答即可．

（1）證明：①∵AF∥BC，

∴∠AFE=∠DBE，

∵E是AD的中點，AD是BC邊上的中線，

∴AE=DE，BD=CD，

在△AFE和△DBE中，

∵∠AFE＝∠DBE，

∠FEA＝∠BED，

AE＝DE，

∴△AFE≌△DBE（AAS），

∴AF=BD，

∴AF=DC．

②由（1）知，△AFE≌△DBE，則AF=DB．

∴AF=CD．

∵AF∥BC，

∴四邊形ADCF是平行四邊形；

（2）四邊形ADCF是矩形．理由如下：

證明：∵在△ABC中，AB=AC， AD是斜邊BC上的中線，

∴AD⊥BC，

∵四邊形ADCF是平行四邊形，

∴平行四邊形ADCF是矩形．