Question

如圖示已知點M的坐標為（4，0），以M為圓心，以2為半徑的圓交x軸于A、B，拋物線y=

1

6

x2+bx+c過A、B兩點且與y軸交于點C．
（1）求點C的坐標并畫出拋物線的大致圖象；
（2）已知點Q（8，m），P為拋物線對稱軸上一動點，求出P點坐標使得PQ+PB值最小，并求出最小值；
（3）過C點作⊙M的切線CE，求直線OE的解析式．

Answer 1

分析：（1）根據圓心M的坐標和圓的半徑，即可得到A、B兩點的坐標，將它們代入拋物線的解析式中，即可求得待定系數的值，進而可確定該拋物線的解析式，即可得到點C的坐標．
（2）由于點Q在拋物線的圖象上，將其代入拋物線的解析式中，即可確定點Q的坐標，由于A、B關于拋物線的對稱軸對稱，那么AQ與拋物線對稱軸的對稱點即為所求的P點，先求出直線AQ的解析式，聯立拋物線的對稱軸，即可得到點Q的坐標；而PQ+PB的最小值即為AQ的長，已知A、Q的坐標，即可利用勾股定理求得AQ的長，由此得解．
（3）此題應分兩種情況考慮：
①E點在M點上方，此時易證得四邊形OCE₁M是矩形，根據點M的坐標和圓的半徑即可得到點E1的坐標，進而可利用待定系數法求得直線OE₁的解析式；
②E點在M點下方，由于CO=ME₂=2，易證得△COD≌△ME₂D，可得OD=DE₂，CD=DM，那么∠DOE₂=∠DE₂O=∠DCM=∠DMC，由此可證得CM∥OE₂，可先求出直線CM的斜率，進而可求出直線OE₂的解析式．

解答：解：（1）將A（2，0）B（6，0）代入y=

1

6

x2+bx+c中，得：

0= 2 3 +2b+c 0=6+6b+c

，
解得

b=- 4 3 c=2

；
∴y=

1

6

x2-

4

3

x+2；
將x=0代入上式，則y=2，
∴C（0，2）．

（2）將x=8代入拋物線的解析式中，得y=2，
∴Q（8，2）；
過Q作QK⊥x軸，
過對稱軸直線x=4作B的對稱點A，則PB+PQ=QA；
在Rt△AQK中，AQ=

AK2+QK2

=

62+22

=2

10

，
即PB+PQ=2

10

；
已知直線AQ：y=

1

3

x-

2

3

，
當x=4時，y=

2

3

，故P（4，

2

3

）．

（3）如圖有CE₁和CE₂，連接CM；
在Rt△COM和Rt△ME₁C中

CO=ME1 CM=MC

，
∴Rt△COM≌Rt△MEC（HL）；
則有矩形COME₁，
則E₁點坐標為（4，2）；
有直線OE₁解析式為y=

1

2

x，
連接ME₂、OE₂
在△COD和△ME₂D中，
∵

∠COD=∠ME2D ∠CDO=∠MDE2 CO=ME2

，
∴△COD≌△ME₂D（AAS），
則OD=E₂D，DC=DM，
∴∠DOE₂=∠DE₂O，∠DCM=∠DMC，
∵∠ODE₂=∠CDM，
∴∠DOE₂=∠DE₂O，∠DCM=∠DMC，
則CM與OE₂平行；
設CM的解析式為y=kx+b，則有：

2=b 0=4k+b

，
解得

k=- 1 2 b=2

；
∴y=-

1

2

x+2；
則OE₂的解析式為y=-

1

2

x．

點評：此題主要考查了二次函數解析式的確定、平面展開-最短路徑問題、全等三角形的判定和性質等重要知識點，同時還考查了分類討論的數學思想，難度較大．