Question

【題目】如圖，為的直徑，，為上一點，過點作的弦，設．

（1）若時，求、的度數各是多少？

（2）當時，是否存在正實數，使弦最短？如果存在，求出的值，如果不存在，說明理由；

（3）在（1）的條件下，且，求弦的長．

Answer 1

【答案】（1）， ;（2）見解析；（3）．

【解析】

（1）連結AD、BD,利用m求出角的關系進而求出∠BCD、∠ACD的度數;
（2）連結,由所給關系式結合直徑求出AP，OP，根據弦CD最短，求出∠BCD、∠ACD的度數，即可求出m的值．
（3）連結AD、BD，先求出AD，BD，AP，BP的長度，利用△APC∽△DPB和△CPB∽△APD得出比例關系式，得出比例關系式結合勾股定理求出CP，PD，即可求出CD．

解：（1）如圖1，連結、．

是的直徑

，

又，

，

（2）如圖2，連結．

，，

，則，

解得

要使最短，則于

，

，

，

故存在這樣的值，且；

（3）如圖3，連結、．

由（1）可得，

，，

，

，，

，

，

①，

②

同理

，

③，

由①得，由③得

，

在中，，

，

由②，得，

．