Question

如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠BCD=90°，且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2．
（1）求證：DC=BC；
（2）E是梯形內一點，F是梯形外一點，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，試判斷△ECF的形狀，并證明你的結論．

Answer 1

（1）證明：過A作DC的垂線AM交DC于M，
則四邊形ABCM是矩形，
則AM=BC=2，MC=AB=1，
又∵tan∠ADC=2，
∴DM=

2

2

=1，
∴DC=DM+MC=2，
∴DC=BC；

（2）△ECF是等腰直角三角形．理由如下：
∵在△DEC和△BFC中，

DE=BF ∠EDC=∠FBC DC=BC

，
∴△DEC≌△BFC（SAS），
∴CE=CF，∠ECD=∠BCF，
∴∠ECF=∠BCF+∠BCE=∠ECD+∠BCE=∠BCD=90°，
即△ECF為等腰直角三角形．