Question

如圖，二次函數(shù)y=-x²+mx+m+的圖象與x軸相交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)D在第一象限．過點(diǎn)D作x軸的垂線，垂足為H．
（1）當(dāng)m=時(shí)，求tan∠ADH的值；
（2）當(dāng)60°≤∠ADB≤90°時(shí)，求m的變化范圍；
（3）設(shè)△BCD和△ABC的面積分別為S₁、S₂，且滿足S₁=S₂，求點(diǎn)D到直線BC的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）先將m=代入y=-x²+mx+m+，運(yùn)用配方法改寫成頂點(diǎn)式，求出頂點(diǎn)D，與x軸的交點(diǎn)A與B的坐標(biāo)，得到DH，AH的長度，再根據(jù)正切函數(shù)的定義即可求出tan∠ADH的值；
（2）先將y=-x²+mx+m+運(yùn)用配方法改寫成頂點(diǎn)式，求出頂點(diǎn)D，與x軸的交點(diǎn)A與B的坐標(biāo)，得到DH，AH的長度，再由拋物線的對(duì)稱性可知當(dāng)60°≤∠ADB≤90°時(shí)，30°≤∠ADH≤45°，然后根據(jù)30°，45°角的正切函數(shù)值及銳角三角函數(shù)的增減性即可求出m的變化范圍；
（3）設(shè)DH與BC交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m．先運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，則可用含m的代數(shù)式表示點(diǎn)M的坐標(biāo)，再根據(jù)S_△DBC=S_△ABC求出m的值，從而得出A（-1，0），B（5，0），C（0，），S_△ABC=×6×=．設(shè)點(diǎn)D到直線BC的距離為d，根據(jù)S_△DBC=BC•d=，即可求出d的值．
解答：解：（1）∵當(dāng)m=時(shí)，y=-x²+x+2=-（x-）²+，
∴頂點(diǎn)D（，），與x軸的交點(diǎn)A（-1，0），B（4，0），
∴DH=，AH=-（-1）=，
∴tan∠ADH===；

（2）y=-x²+mx+m+=-（x-m）²+，
∴頂點(diǎn)D（m，），
令y=-x²+mx+m+=0，解得：x=-1或2m+1
則與x軸的交點(diǎn)A（-1，0），B（2m+1，0），
∴DH=，AH=m-（-1）=m+1，
∴tan∠ADH==．
當(dāng)60°≤∠ADB≤90°時(shí)，由對(duì)稱性得30°≤∠ADH≤45°，
∴當(dāng)∠ADH=30°時(shí)，=，
∴m=2-1，
當(dāng)∠ADH=45°時(shí)，=1，
∴m=1，
∴1≤m≤2-1；

（3）設(shè)DH與BC交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m．
設(shè)過點(diǎn)B（2m+1，0），C（0，m+）的直線解析式為；y=kx+b，
則，
解得，
即y=-x+m+．
當(dāng)x=m時(shí)，y=-m+m+=，
∴M（m，）．
∴DM=-=，AB=（2m+1）-（-1）=2m+2，
又，∵S_△DBC=S_△ABC，
∴•（2m+1）=（2m+2）•（m+），
又∵拋物線的頂點(diǎn)D在第一象限，
∴m＞0，解得m=2．
當(dāng)m=2時(shí)，A（-1，0），B（5，0），C（0，），
∴BC==，
∴S_△ABC=×6×=．
設(shè)點(diǎn)D到直線BC的距離為d．
∵S_△DBC=BC•d，
∴וd=，
∴d=．
答：點(diǎn)D到直線BC的距離為．
點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，正切函數(shù)的定義，三角形的面積以及點(diǎn)到直線的距離的求法，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．其中（3）正確表示S_△DBC=DM•OB，從而根據(jù)S_△DBC=S_△ABC求出m的值是解題的關(guān)鍵．