Question

【題目】如圖，圓中的弦AB與弦CD垂直于點E，點F在上， ，直線MN過點D，且∠MDC=∠DFC，求證：直線MN是該圓的切線．

Answer 1

【答案】證明見解析．

【解析】試題分析：弦AB與弦CD垂直，∠ABC=∠BCF,所以可得∠DCF=90°, ∠MDC=∠DFC，所以∠MDF=90°, 直線MN是該圓的切線．

試題解析：

設該圓的圓心為點O，在⊙O中，∵弧AC= 弧BF，

∴∠AOC=∠BOF．

又∠AOC=2∠ABC，∠BOF=2∠BCF，

∴∠ABC=∠BCF，∴AB∥CF，

∴∠DCF=∠DEB,

∵DC⊥AB，∴∠DEB=90°，

∴∠DCF=90°，

∴DF為⊙O直徑,

且∠CDF+∠DFC=90°,

∵∠MDC=∠DFC，∴∠MDC+∠DFC=90°．

即 DF⊥MN,

又∵MN過點D，

∴直線MN是⊙O的切線．