Question

設a、b是兩個相鄰的整數，且c=ab，M²=a²+b²+c²，求證：M²是奇數．

Answer 1

分析：根據a、b是兩個相鄰的整數，不妨設a=b+1，由c=ab，則M²=a²+b²+c²=（b+1）²+b²+（b+1）²b²，然后討論b的奇偶性即可證明．

解答：證明：∵a、b是兩個相鄰的整數，不妨設a=b+1，則M²=a²+b²+c²=（b+1）²+b²+（b+1）²b²
=b²+2b+1+b²+（b²+2b+1）b²
=b⁴+2b³+3b²+1，
若b為偶數，則b⁴，2b³，3b²為偶數，∴b⁴+2b³+3b²+1為奇數，
若b為奇數，則b⁴，3b²為奇數，2b³為偶數，∴b⁴+2b³+3b²+1為奇數，
綜上所述：M²為奇數，即證明之．

點評：本題考查了整數的奇偶性，難度適中，關鍵是用b把M²表示出來，然后討論b的奇偶性．