Question

已知：如圖，⊙P與x軸相切于坐標原點O，點A(0，2)是⊙P與y軸的交點，點B(－2，0)在x軸上．連結BP交⊙P于點C，連結AC并延長交x軸于點D．

(1)求線段BC的長；

(2)求直線AC的關系式；

(3)當點B在x軸上移動時，是否存在點B，使△BOP相似于△AOD？若存在，求出符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由題意，得OP＝1，BO＝2，CP＝1 　　在Rt△BOP中， 　　∵BP2＝OP2＋BO2，∴(BC＋1)2＝12＋(2)2， 　　∴BC＝2; 　　(2)過點C作CE⊥x軸于E，CF⊥y軸于F， 　　在△PBO中，∵CF∥BO，∴， 　　即，解得CF＝． 　　同理可求得CE＝． 　　因此C(－，)，設直線AC的函數關系式為y＝kx＋b(k≠0)， 　　把A(0，2)，C(－，)兩點代入關系式，得 　　，解得 　　∴所求函數關系式為y＝x＋2; 　　(3)在x軸上存在點B，使△BOP與△AOD相似． 　　∵∠OPB＞∠OAD，∴∠OPB≠∠OAB 　　故若要△BOP與△AOD相似， 　　則∠OBP＝∠OAD．又∠OPB＝2∠OAD， 　　∴∠OPB＝2∠OBP 　　∵∠OPB＋∠OBP＝90°，∴3∠OBP＝90°， 　　∴∠OBP＝30°． 　　因此OB＝cot30°·OP＝ 　　∴B1點坐標為(－，0)， 　　根據對稱性可求得符合條件的B2坐標(，0)． 　　綜上，符合條件的B點坐標有兩個：B1(－，0)．B2(，0)．