Question

如圖，已知正方形ABCD，點E是BC上一點，點F是CD延長線上一點，連接EF，若BE=DF，點P是EF的中點．
（1）求證：AE=AF；
（2）若∠B=∠ADC=∠ADF=90°，求∠CPD的度數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得∠B=∠ADC=∠ADF=90°，AB=AD，結(jié)合BE=DF，即可證明△ABE≌△ADF，于是可得AE=AF；
（2）連結(jié)AP，首先根據(jù)△ABE≌△ADF得∠BAE=∠DAF，結(jié)合角角之間的關(guān)系得到∠CEF=60°，由P為EF中點，∠EAF=90°，AP=EF，得到AO=CP，進一步證明△APD≌△CPD，再根據(jù)三角形全等的性質(zhì)得∠ADP=∠CDP，進而求出∠CPD的度數(shù)．
解答：解：（1）∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠B=∠ADC=∠ADF=90°，AB=AD，
又∵BE=DF，
∵在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE=AF；

（2）連結(jié)AP，
∵△ABE≌△ADF，
∴∠BAE=∠DAF，
∵∠BAE+∠EAD=90°，
∴∠DAF+∠EAD=90°，即∠EAF=90°，
又∵AE=AF，
∴∠AEF=45°，
∵∠AEB=75°，
∴∠CEF=180°-45°-75°=60°，
∵∠ECF=90°，P為EF中點，
∴CP=PF=EF，∠EFC=∠PCF=30°，
∵P為EF中點，∠EAF=90°，AP=EF，
∴AP=CP，
又∵AD=CD，PD=PD，
∵在△APD和△CPD中，
，
∴△APD≌△CPD（SSS），
∴∠ADP=∠CDP，
∵∠ADC=90°，
∴∠CDP=45°，
∴∠CPD=180°-∠PCD-∠CDP=105°．
點評：本題主要考查正方形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形的性質(zhì)以及全等三角形的證明，此題難度不大，是比較不錯的一道習(xí)題．