Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-2x+42交x軸與點A，交直線y=x于點B，拋物線y=ax²-2x+c分別交線段AB、OB于點C、D，點C和點D的橫坐標分別為16和4，點P在這條拋物線上．
（1）求點C、D的縱坐標．
（2）求a、c的值．
（3）若Q為線段OB上一點，且P、Q兩點的縱坐標都為5，求線段PQ的長．
（4）若Q為線段OB或線段AB上的一點，PQ⊥x軸，設P、Q兩點之間的距離為d（d＞0），點Q的橫坐標為m，直接寫出d隨m的增大而減小時m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）點C在直線AB：y=-2x+42上，將C點的橫坐標代入即可求出C點的縱坐標，同理可知：D點在直線OB：y=x上，將D點的橫坐標代入解析式即可求出D點的縱坐標；
（2）拋物線y=ax²-2x+c經(jīng)過C、D兩點，列出關于a和c二元一次方程組，解出a和c即可；
（3）根據(jù)Q為線段OB上一點，P、Q兩點的縱坐標都為5，則可以求出Q點的坐標，又知P點在拋物線上，求出P點的坐標，P、Q兩點的橫坐標的差的絕對值即為線段PQ的長；
（4）根據(jù)PQ⊥x軸，可知P和Q兩點的橫坐標相同，都為m，用含m的代數(shù)式分別表示P、Q兩點的坐標，求出B點的坐標，分兩種情況討論：①Q(mào)是線段OB上的一點；②Q是線段AB上的一點．分別求出d與m之間的函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求出d隨m的增大而減小時m的取值范圍．
解答：解：（1）∵點C在直線AB：y=-2x+42上，且C點的橫坐標為16，
∴y=-2×16+42=10，即點C的縱坐標為10；
∵D點在直線OB：y=x上，且D點的橫坐標為4，
∴點D的縱坐標為4；

（2）由（1）知點C的坐標為（16，10），點D的坐標為（4，4），
∵拋物線y=ax²-2x+c經(jīng)過C、D兩點，
∴，
解得：．
∴拋物線的解析式為y=x²-2x+10；

（3）∵Q為線段OB上一點，縱坐標為5，
∴Q點的橫坐標也為5，
∵點P在拋物線上，縱坐標為5，
∴x²-2x+10=5，
解得x₁=8+2，x₂=8-2．
當點P的坐標為（8+2，5），點Q的坐標為（5，5），線段PQ的長為2+3；
當點P的坐標為（8-2，5），點Q的坐標為（5，5），線段PQ的長為2-3．
所以線段PQ的長為2+3或2-3；

（4）∵PQ⊥x軸，
∴P、Q兩點的橫坐標相同，都為m，
∴P（m，m²-2m+10），Q（m，m）（此時Q在線段OB上）或Q（m，-2m+42）（此時Q在線段AB上）．
由，
解得．
∴點B的坐標為（14，14）．
①當點Q為線段OB上時，如圖所示，
在OD段，即當0≤m＜4時，d=（m²-2m+10）-m=m²-3m+10=（m-12）²-8，d隨m的增大而減��；
在BD段，即當4≤m≤14時，d=m-（m²-2m+10）=-m²+3m-10=-（m-12）²+8，
在對稱軸右側(cè)，d隨m的增大而減小，即當12＜m≤14時，d隨m的增大而減小．
則當0≤m＜4或12≤m≤14時，d隨m的增大而減�。�
②當點Q為線段AB上時，如圖所示，
在BC段，即當14≤m＜16時，d=（-2m+42）-（m²-2m+10）=-m²+32，
在對稱軸右側(cè)，d隨m的增大而減小，即當14≤m＜16時，d隨m的增大而減��；
在CA段，即當16≤m≤21時，d=（m²-2m+10）-（-2m+42）=m²-32，
在對稱軸左側(cè)，d隨m的增大而減小，m不滿足條件．
綜上所述，當0≤m＜4或12≤m＜16時，d隨m的增大而減小．
點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有運用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，函數(shù)圖象上點的坐標特征，平行于坐標軸上的兩點之間的距離，二次函數(shù)的增減性，難度中等，解題關鍵是運用數(shù)形結合及分類討論的思想．