Question

已知拋物線y=x²+kx+k-2．
（1）求證：不論k為任何實數，拋物線與x軸總有兩個交點；
（2）若反比例函數y=

m

x

的圖象與y=-

6

x

的圖象關于y軸對稱，又與拋物線交于點A（n，-3），求拋物線的解析式；
（3）若點P是（2）中拋物線上的一點，且點P到兩坐標軸的距離相等，求點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）利用根的判別式進行證明；
（2）先根據關于y軸的對稱性求出反比例函數解析式，然后把點A的坐標代入求出n的值，從而得到點A的坐標，再把點A的坐標代入拋物線解析式，利用待定系數法求解即可；
（3）根據到兩坐標軸的距離相等，分①點P的橫坐標與縱坐標相同，②點P的橫坐標與縱坐標互為相反數兩種情況與拋物線解析式聯立求解即可得到點P的坐標．

解答：（1）證明：△=k²-4×1×（k-2）
=k²-4k+4+4
=（k-2）²+4，
∵（k-2）²≥0，
∴（k-2）²+4＞0，
即△＞0，
∴拋物線與x軸總有兩個交點；

（2）解：∵反比例函數y=

m

x

的圖象與y=-

6

x

的圖象關于y軸對稱，
∴m=6，
∴

6

n

=-3，
解得n=-2，
∴點A的坐標為（-2，-3），
∴（-2）²+（-2）k+k-2=-3，
解得k=5，
∴拋物線解析式為：y=x²+5x+3；

（3）解：∵拋物線上的點P到兩坐標軸的距離相等，
∴①點P的橫坐標與縱坐標相同時，y=x，
與拋物線解析式聯立得，

y=x y=x2+5x+3

，
解得

x1=-1 y1=-1

，

x2=-3 y2=-3

，
②點P的橫坐標與縱坐標互為相反數時，y=-x，
與拋物線解析式聯立得，

y=-x y=x2+5x+3

，
解得

x3=-3+ 6 y3=3- 6

，

x4=-3- 6 y4=3+ 6

，
∴點P的坐標為（-1，-1）或（-3，-3）或（-3+

6

，3-

6

）或（-3-

6

，3+

6

）．

點評：本題綜合考查了二次函數的問題，拋物線與x軸的交點問題，待定系數法求拋物線解析式，坐標與圖形的性質，兩函數圖象交點的求解方法，綜合性較強，但難度不是很大，仔細分析不難求解．