Question

濰坊市昌樂縣有一個食品廠，該廠的食品主要有兩種銷售方式，一種方式是賣給食品經(jīng)銷商，另一種方式是在各超市的柜臺進行銷售，每年該廠生產(chǎn)的食品都可以全部銷售，該食品廠每年可以生產(chǎn)食品100萬盒，其中，賣給食品經(jīng)銷商每盒食品的利潤y₁（元）與銷售量x（萬盒）之間的函數(shù)圖如圖所示；在各超市柜臺銷售的每盒利潤y₂（元）與銷售量x（萬盒）之間的函數(shù)關(guān)系為：y2=

- 3 4 x+80(0≤x＜40) 40(40≤x≤100)

（1）寫出該食品廠賣給食品經(jīng)銷商的銷售總利潤z₁（萬元）與其銷售量x（萬盒）之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出x的取值范圍；
（2）求出該食品廠在各超市柜臺銷售的總利潤z₂（萬元）與賣給食品經(jīng)銷商的銷售量x（萬盒）之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出x的取值范圍；
（3）求該食品廠每年的總利潤w（萬元）與賣給食品經(jīng)銷商的銷售量x（萬盒）之間的函數(shù)關(guān)系式，并幫助該食品廠確定賣給食品經(jīng)銷商和在各超市柜臺的銷量各為多少萬盒時，該公司的年利潤最大？

Answer 1

分析：（1）當(dāng)0≤x＜60時，可直接得出該食品廠賣給食品經(jīng)銷商的銷售總利潤z₁=5x，再根據(jù)當(dāng)60≤x≤100時，每盒食品的利潤y₁（元）與銷售量x（萬盒）之間的函數(shù)圖象過（60，5）（100，4）點，得出y₁=-

1

40

x+

13

2

，最后乘以其銷售量x即可得出答案；
（2）根據(jù)在各超市柜臺銷售的每盒利潤y₂（元）與銷售量x（萬盒）之間的函數(shù)關(guān)系，用y₂乘以賣給各超市柜臺的銷售量即可得出答案；
（3）分別求出當(dāng)0≤x＜40，40≤x＜60，60≤x≤100時該食品廠每年的總利潤w（萬元）與賣給食品經(jīng)銷商的銷售量x（萬盒）之間的函數(shù)關(guān)系式為，再分別求出此時最大利潤，即可得出所以該食品廠確定賣給各超市柜臺的銷量多少萬盒時，該公司的年利潤最大．

解答：解：（1）當(dāng)0≤x＜60時，該食品廠賣給食品經(jīng)銷商的銷售總利潤z₁=5x，
∵當(dāng)60≤x≤100時，每盒食品的利潤y₁（元）與銷售量x（萬盒）之間的函數(shù)圖象過（60，5）（100，4）點，
∴當(dāng)60≤x≤100時，y₁=-

1

40

x+

13

2

，
∴當(dāng)60≤x≤100時，該食品廠賣給食品經(jīng)銷商的銷售總利潤z₁=（-

1

40

x+

13

2

）x=-

1

40

x²+

13

2

x．

（2）∵賣給食品經(jīng)銷商的銷售量為x萬盒，
∴在各超市柜臺的銷售量為（100-x）萬盒，
∵在各超市柜臺銷售的每盒利潤y₂（元）與銷售量x（萬盒）之間的函數(shù)關(guān)系為：
y₂=

- 3 4 x+80(0≤x＜40) 40(40≤x≤100)

∴當(dāng)0≤100-x＜40時，
即60＜x≤100時，該食品廠在各超市柜臺銷售的總利潤z₂（萬元）與賣給食品經(jīng)銷商的銷售量x（萬盒）之間的函數(shù)關(guān)系式為：
z₂=[-

3

4

（100-x）+80]（100-x）=-

3

4

x²+70x+500
當(dāng)40≤100-x≤100時，
即0≤x≤60時，該食品廠在各超市柜臺銷售的總利潤z₂（萬元）與賣給食品經(jīng)銷商的銷售量x（萬盒）之間的函數(shù)關(guān)系式為：
z₂=40（100-x）=-40x+4000，

（3）當(dāng)60＜x≤100時該食品廠每年的總利潤w（萬元）與賣給食品經(jīng)銷商的銷售量x（萬盒）之間的函數(shù)關(guān)系式為；
w=（-

1

40

x²+

13

2

x）+（-

3

4

x²+70x+500）=-

31

40

x²+

153

2

x+500，
∵拋物線開口向下，
∴x=

1530

31

時，w的值最大，
w=2387.82萬元，
當(dāng)40≤x＜60時該食品廠每年的總利潤w（萬元）與賣給食品經(jīng)銷商的銷售量x（萬盒）之間的函數(shù)關(guān)系式為；
w=5x-40x+4000=-35x+4000，
∵該函數(shù)w隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x=0時，利潤最大，
此時的最大利潤為：-35×0+4000=4000（萬元），
當(dāng)0≤x＜40時該食品廠每年的總利潤w（萬元）與賣給食品經(jīng)銷商的銷售量x（萬盒）之間的函數(shù)關(guān)系式為：
w=5x+（-

3

4

x+80）（100-x），
=

3

4

x²-150x+8000，
∴當(dāng)x=0時，利潤最大，
此時的最大利潤為8000（萬元），
所以該食品廠確定賣給各超市柜臺的銷量100萬盒時，該公司的年利潤最大．

點評：此題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，此題中的數(shù)量關(guān)系較多，最大銷售利潤的問題常利用函數(shù)的增減性來解答，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數(shù)模型，然后結(jié)合實際選擇最優(yōu)方案．其中要注意應(yīng)該在自變量的取值范圍內(nèi)求最大值（或最小值），也就是說二次函數(shù)的最值不一定在x=-

b

2a

時取得．