Question

數(shù)學家已證明“不能用直尺和圓規(guī)三等分角”．如果不限作圖工具呢？有位數(shù)學愛好者制作了如下的“三等分角器”；將量角器直徑BC和一條直尺AB放在同一條直線上，移動量角器使得AB=OB=OC，另一條直尺的邊緣BD過點B，且BD⊥AB，并用固件按這樣的位置固定．
（1）如圖，把∠MPN的頂點P放在三等分角器的BD線上，移動器具，使∠MPN的一邊MP過點A，另一邊PN和半圓相切．請你說明直線PB和PO三等分∠MON．
（2）若從量角器上讀的∠COE=x（0＜x＜90°）請用含x的代數(shù)式表示∠MPN的度數(shù)．

Answer 1

解：（1）∵PN切⊙O于E，
∴PE⊥OE，
∵∠PBO=∠PEO=90°，
在Rt△PBO和Rt△PEO中，
，
∴Rt△PBO≌Rt△PEO（HL），
∴∠OPE=∠OPB，
∵AB=BO，PB⊥OA，
∴PA=PB，
∴∠MPB=∠OPB，
即∠MPB=∠OPB=∠NPO．

（2）∵Rt△PBO≌Rt△PEO，
∴∠POB=∠POE，
∵∠EOC=x，
∴∠POE=（180°-x）=90°-x，
∵∠PEO=90°，
∴∠MPO=90°-（90°-x）=x，
∴∠MPN=3∠MPO=x．
分析：（1）證Rt△PBO≌Rt△PEO，推出∠OPE=∠OPB，求出PA=PO，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出∠MPB=∠OPB，即可得出答案；
（2）根據(jù)全等推出∠POB=∠POE，求出∠POE=（180°-x）=90°-x，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠MPO=x，代入∠MPN=3∠MPO求出即可．
點評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)，切線的性質(zhì)的應用，主要考查學生綜合運用性質(zhì)進行推理的能力．