Question

【題目】如圖1，邊長為6的正方形ABCD，動點P、Q各從點A，D同時出發，分別沿邊AD，DC方向運動，且速度均為每秒1個單位長度.

（1）AQ與BP關系為________________；

（2）如圖2，當點P運動到線段AD的中點處時，AQ與BP交于點E，試探究∠CEQ和∠BCE滿足怎樣的數量關系；

（3）如圖3，將正方形變為菱形且∠BAD=60°，其余條件不變，設運動t秒后，點P仍在線段AD上，AQ交BD于F，且△BPQ的面積為S，試求S的最小值，及當S取最小值時∠DPF的正切值．

Answer 1

【答案】（1）AQ=BP且AQ⊥BP；（2）∠BCE=2∠CEQ；（3）；

【解析】

（1）先利用“SAS”證得△ADQ≌△BAP，再利用角的計算，即可證得AQ⊥BP，AQ=BP；

（2）取AB中點為F，連結CF交BE于H，證得四邊形QAFC是平行四邊形，再證得CH所在直線是線段BE的中垂線，則CE=BC，從而求得∠BCE=2∠CEQ；

（3）先證得△BPQ為等邊三角形，得到，當P到AD中點時，BP最短，從而得到S的最小值；作AM⊥CD于M，利用“SAS”證得△DPF≌△DQF，根據∠DPF=∠DQF即可求解．

（1）AQ⊥BP，AQ=BP，理由如下：

∵動點P，Q各從點A，D同時出發，分別沿AD，DC方向運動，且速度均為每秒1個單位長度，
∴DQ=AP，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=BA，∠ADQ=∠BAP=90°，
在△ADQ和△BAP中，

，
∴△ADQ≌△BAP（SAS），
∴AQ=BP，且∠DAQ=∠ABP，
又∵∠DAQ+∠BAQ=90°，
∴∠ABP+∠BAQ=90°，
∴∠AEB=90°，
即AQ⊥BP；

（2）證明：取AB中點為F，連結CF交BE于H，

∵四邊形ABCD是邊長為6的正方形，

∴CD∥AB，

∵DQ=CQ=3，AF=FB=3，

∴CQ= AF，

∴四邊形QAFC是平行四邊形，

∴CF∥AQ，

∵AQ⊥BP，

∴CF⊥BP，

∵FH∥AE，且F為AB中點，

∴H為EB中點，即BH=EH，

∴CH所在直線是線段BE的中垂線，

∴CE=CB，

∴∠ECH=∠BCH，

∵CH∥AQ，

∴∠HCE=∠QEC，

∴∠BCE=2∠ECH=2∠CEQ，

（3）∵四邊形ABCD是菱形，且∠BAD=60°，

∴AD=AB，CD∥AB，

∴△ABD為等邊三角形，∠DBA=∠BDQ，

∴∠BAP=∠BDQ=60°，BD=BA，

∵動點P，Q各從點A，D同時出發，分別沿AD，DC方向運動，且速度均為每秒1個單位長度，
∴DQ=AP，
在△BDQ和△BAP中，

，
∴△BDQ≌△BAP（SAS），
∴BQ=BP，且∠DBQ=∠ABP，
又∵∠ABP +∠PBD=60°，
∴∠DBQ +∠PBD =60°，即∠PBQ=60°，

∴△BPQ為等邊三角形，

作QG⊥BP于G，

∴，

∴，

當且僅當BP⊥AD時，即P到AD中點時，BP最短，

BP，

∴，

連結PF，過點A作AM⊥CD交CD延長線于M，

∵AP=PD=DQ=AD=3，

在△DPF和△DQF中，

，

∴△DPF≌△DQF（SAS），

在Rt△ADM中，AD=6，∠ADM=180-∠ADB-∠QDB =60°，

∴，，

∴tan∠DPF=tan∠DQF=．