Question

如圖，AB是⊙O的直徑，∠B=∠CAD．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）若點E是的中點，連接AE交BC于點F，當BD=5，CD=4時，求AF的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）證明△ADC∽△BAC，可得∠BAC=∠ADC=90°，繼而可判斷AC是⊙O的切線．
（2）根據（1）所得△ADC∽△BAC，可得出CA的長度，繼而判斷∠CFA=∠CAF，利用等腰三角形的性質得出AF的長度，繼而得出DF的長，在Rt△AFD中利用勾股定理可得出AF的長．
解答：解：（1）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵∠B=∠CAD，∠C=∠C，
∴△ADC∽△BAC，
∴∠BAC=∠ADC=90°，
∴BA⊥AC，
∴AC是⊙O的切線．

（2）∵△ADC∽△BAC（已證），
∴=，即AC²=BC×CD=36，
解得：AC=6，
在Rt△ACD中，AD==2，
∵∠CAF=∠CAD+∠DAE=∠ABF+∠BAE=∠AFD，
∴CA=CF=6，
∴DF=CA-CD=2，
在Rt△AFD中，AF==2．
點評：本題考查了切線的判定、相似三角形的判定與性質，解答本題的關鍵是熟練掌握切線的判定定理、相似三角形的性質，勾股定理的表達式．