Question

如圖；AC，BD是四邊形ABCD的對角線，AC⊥BD于點O；
（1）求證：S_{四邊形ABCD}=

1

2

AC•BD；
（2）若AC+BD=10，當AC，BD的長是多少時，四邊形ABCD的面積最大？

Answer 1

分析：（1）把四邊形ABCD分成△ABC和△ACD兩部分，利用三角形的面積公式列式整理即可得證；
（2）設AC=x，表示出BD，再根據（1）的結論整理，然后利用二次函數的最值問題解答．

解答：（1）證明：∵AC⊥BD，
∴S_{四邊形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD，
=

1

2

AC•OB+

1

2

AC•OD，
=

1

2

AC（OB+OD）
=

1

2

AC•BD；

（2）解：設AC=x，∵AC+BD=10，
∴BD=10-x，
∴四邊形ABCD的面積=

1

2

x（10-x）=-

1

2

（x²-10x）=-

1

2

（x-5）²+

25

2

，
∵-

1

2

＜0，
∴當x=5時，四邊形ABCD的面積有最大值

25

2

，
此時AC=5，BD=5．

點評：本題考查了二次函數的最值問題，三角形的面積，把四邊形的面積分成兩個三角形的面積進行求解是解題的關鍵，也是此類題目常用的方法之一．