Question

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于A、B兩點（A在B的左側），與y軸交于點C（0，4），頂點為（1，）．
（1）求拋物線的函數表達式；
（2）設拋物線的對稱軸與x軸交于點D，試在對稱軸上找出點P，使△CDP為等腰三角形，請直接寫出滿足條件的所有點P的坐標；
（3）若點E是線段AB上的一個動點（與A、B不重合），分別連接AC、BC，過點E作EF∥AC交線段BC于點F，連接CE，記△CEF的面積為S，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值及此時E點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）將拋物線的頂點代入到拋物線的頂點式中得到y=a （ x-1）²+，然后將與y軸交于點C代入到上式中即可求得函數的解析式；
（2）利用等腰三角形的性質即可得到P點的坐標分別為P₁ （1，），P₂ （1，-），P₃ （1，8），P₄ （1，）；
（3）求得拋物線與x軸的交點坐標，然后過點F作FM⊥OB于點M，利用△BEF∽△BAC即可得到函數關系式S=-x²+x+，配方后即可求得最大值，從而求得E點的坐標．
解答：解：（1）∵拋物線的頂點為（1，）
∴設拋物線的函數關系式為y=a （ x-1）²+
∵拋物線與y軸交于點C （0，4），
∴a （0-1）²+=4
解得a=-
∴所求拋物線的函數關系式為y=-（ x-1）²+

（2）P₁ （1，），P₂ （1，-），P₃ （1，8），P₄ （1，），

（3）存在．
令-（ x-1）²+=0，解得x₁=-2，x₂=4
∴拋物線y=-（ x-1）²+與x軸的交點為A （-2，0）B（4，0）
過點F作FM⊥OB于點M，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴=
又∵OC=4，AB=6，
∴MF=×OC=EB
設E點坐標為 （x，0），則EB=4-x，MF= （4-x）
∴S=S_△BCE-S_△BEF= EB•OC- EB•MF
= EB（OC-MF）= （4-x）[4- （4-x）]
=-x²+x+=-（ x-1）²+3
∵a=-＜0，
∴S有最大值
當x=1時，S_最大值=3
此時點E的坐標為 （1，0）．
點評：本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有拋物線的頂點公式和三角形的面積求法．在求有關動點問題時要注意分析題意分情況討論結果．