Question

如圖1，在平面直角坐標系中，二次函數y=ax²+bx+c（a＜0）的圖象的頂點為點D，與y軸交于點C，與x軸交于點A、B，點A在原點的左側，點B的坐標為（3，0），OB=OC，tan∠ACO=．

（1）求這個二次函數的解析式；
（2）經過C、D兩點的直線，與x軸交于點E，在該拋物線上是否存在這樣的點F，使以點A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點F的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）如圖2，若點G（2，y）是該拋物線上一點，點P是直線AG上方的拋物線上一動點，當點P運動到什么位置時，△APG的面積最大？求出此時P點的坐標和△APG的最大面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出A、C的坐標，設這個二次函數的解析式是y=a（x-3）（x+1），把C的坐標代入求出即可；
（2）求出D的坐標，設直線CD的解析式是y=kx+b，把C（0，3），D（1，4）代入求出直線CD，得到E的坐標，根據平行四邊形的性質求出即可；
（3）過點P作y軸的平行線與AG交于點Q，設直線AG的解析式是y=ax+c，把A、G的坐標代入求出直線AG，根據勾股定理求出AG，設P（x，-x²+2x+3），則Q（x，x+1），求出PQ，根據三角形的面積公式求出即可．
解答：解：（1）∵點B的坐標為（3，0），OB=OC，
∴C的坐標是（0，3），
∵tan∠ACO=，
∴OA=1，
∴A（-1，0），
設這個二次函數的解析式是y=a（x-3）（x+1），
把C（0，3）代入得：3=a（0-3）（0+1），
解得：a=-1，
∴y=-（x-3）（x+1）=-x²+2x+3，
答：這個二次函數的解析式是y=-x²+2x+3．

（2）存在，F點的坐標為（2，3）．
理由：y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴D（1，4），
設直線CD的解析式是y=kx+b，
把C（0，3），D（1，4）代入得：，
解得：k=1，b=3，
∴直線CD的解析式為：y=x+3
∴E點的坐標為（-3，0）
由A、C、E、F四點的坐標得：AE=CF=2，AE∥CF，
∴以A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形
∴存在點F，坐標為（2，3），
答：在該拋物線上存在這樣的點F，使以點A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形，點F的坐標是（2，3）．

（3）過點P作y軸的平行線與AG交于點Q，
把G（2，y）代入y=-x²+2x+3得：y=3，
∴G（2，3），
設直線AG的解析式是y=ax+c，
把A、G的坐標代入得：，
解得：a=1，c=1，
直線AG為y=x+1，
由勾股定理得：AG=3，
設P（x，-x²+2x+3），則Q（x，x+1），
PQ=-x²+x+2，AH=2-（-1）=3，
S_△APG=S_△API+S_梯形PIHG-S_△AGH
=•（x+1）•（-x²+2x+3）+•（-x²+2x+3+3）•（2-x）-×（2+1）×3
=-x²+x+3
當x=-=時，△APG的面積最大，
此時P點的坐標為（，），S_△APG的最大值為-×（）²+×+3=．
答：當點P運動到（，）位置時，△APG的面積最大，此時P點的坐標是（，），△APG的最大面積是．
點評：本題主要考查對用待定系數法求一次函數、二次函數的解析式，一次函數圖象上點的坐標特征，二次函數的最值，解二元一次方程組，三角形的面積，平行四邊形的性質等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質進行計算是解此題的關鍵．