Question

（2005•北京）已知：關于x的方程（a+2）x²-2ax+a=0有兩個不相等的實數根x₁和x₂，并且拋物線y=x²-（2a+1）x+2a-5與x軸的兩個交點分別位于點（2，0）的兩旁．
（1）求實數a的取值范圍；
（2）當|x₁|+|x₂|=時，求a的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由一元二次方程的二次項系數不為0和根的判別式求出a的取值范圍．設拋物線y=x²-（2a+1）x+2a-5與x軸的兩個交點的坐標分別為（α，0）、（β，0），且α＜β，∴α、β是關于x的方程x²-（2a+1）x+2a-5=0的兩個不相等的實數根，再利用方程x²-（2a+1）x+2a-5=0的根的判別式求a的取值范圍，又∵拋物線y=x²-（2a+1）x+2a-5與x軸的兩個交點分別位于點（2，0）的兩旁，利用根與系數的關系確定；
（2）把代數式變形后，利用根與系數的關系求出a的值．
解答：解：（1）∵關于x的方程（a+2）x²-2ax+a=0有兩個不相等的實數根
∴
解得：a＜0，且a≠-2   ①
設拋物線y=x²-（2a+1）x+2a-5與x軸的兩個交點的坐標分別為（α，0）、（β，0），且α＜β
∴α、β是關于x的方程x²-（2a+1）x+2a-5=0的兩個不相等的實數根
∵△=[-（2a+1）]²-4×1×（2a-5）=（2a-1）²+21＞0
∴a為任意實數②
由根與系數關系得：α+β=2a+1，αβ=2a-5
∵拋物線y=x²-（2a+1）x+2a-5與x軸的兩個交點分別位于點（2，0）的兩旁
∴α＜2，β＞2
∴（α-2）（β-2）＜0
∴αβ-2（α+β）+4＜0
∴2a-5-2（2a+1）+4＜0
解得：a＞-③
由①、②、③得a的取值范圍是-＜a＜0；

（2）∵x₁和x₂是關于x的方程（a+2）x²-2ax+a=0的兩個不相等的實數根
∴x₁+x₂=，x₁x₂=
∵-＜a＜0，∴a+2＞0
∴x₁x₂=＜0不妨設x₁＞0，x₂＜0
∴|x₁|+|x₂|=x₁-x₂=2
∴x₁²-2x₁x₂+x₂²=8，即（x₁+x₂）²-4x₁x₂=8
∴（）²-=8
解這個方程，得：a₁=-4，a₂=-1（16分）
經檢驗，a₁=-4，a₂=-1都是方程（）²-=8的根
∵a=-4＜-，舍去
∴a=-1為所求．
點評：本題綜合性強，考查了一元二次方程中的根與系數的關系和根的判別式的綜合利用．