Question

山城電信大樓一架最多可以容納32人的33層電梯出故障，只能在第2層至第33層中的某一層停一次．對(duì)于每個(gè)人來說，他往下走一層樓梯感到1分不滿意，往上走一層樓梯感到3分不滿意．現(xiàn)有32個(gè)人在第一層，并且他們分別在第2至第33層的每一層辦公．請你設(shè)計(jì)一個(gè)方案，使電梯停在某一層，使得這32個(gè)人的不滿意總分達(dá)到最小，并求出這個(gè)最小值．注意：有些人可以不乘電梯而直接從樓梯上樓．

Answer 1

分析：人群的活動(dòng)有三種，直接上樓；從電梯下樓；從電梯上樓；根據(jù)它們的活動(dòng)情況，可有多種組合，而組合數(shù)是有限的，故存在最小值．

解答：解：將人群分成三組，A組：直接上樓；B組：從電梯下樓；C組：從電梯上樓；
由于各種組合是有限的，因此最小值是存在的，那么在達(dá)到最小值時(shí)，下樓的人數(shù)是一個(gè)確定的值m，
除了1人不需要上下樓，上樓的人數(shù)為31-m，
這31-m個(gè)人分在A，C兩組，由于A，C兩組的地位均等，因此要達(dá)到最小值人數(shù)要相等，但涉及到整數(shù)有可能相差1人，
設(shè)A組的人有n，那么爬得最高的人要爬n層，3n分，
如果C組的人比A組的人數(shù)多2個(gè)以上，則C組爬得最高的人＞=3（n+2），
這樣如果我們從C組中移1個(gè)人到A組，將至少減少3（n+2）分，
而A組增加1人增加的分是3（n+1），顯然會(huì)使總分減少，
同時(shí)B組的人數(shù)沒有變動(dòng)，分值沒有變化，
由此說明了A，C組人數(shù)應(yīng)當(dāng)相等或相差1人，
基于以上分析，先考慮AC組人數(shù)相等的情況：
設(shè)A，C組人數(shù)均為x，B組人數(shù)為31-2x，
總分S=

x•(x+1)•3+(32-2x)(31-2x)

2

=5x²-60x+496，
當(dāng)x=

60

2×5

=6，S最小=316．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了加法原理與乘法原理，側(cè)重于邏輯推理，根據(jù)人數(shù)的變化及上下樓情況推出分?jǐn)?shù)，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問題是解題的關(guān)鍵．