Question

已知拋物線y=-x²-2x+a（a＞0）與y軸相交于點A，頂點為M．直線y=

1

2

x+

1

2

a與x軸相交于B點，與直線AM相交于N點；直線AM與x軸相交于C點
（1）求M的坐標與MA的解析式（用字母a表示）；
（2）如圖，將△NBC沿x軸翻折，若N點的對應點N′恰好落在拋物線上，求a的值；
（3）在拋物線y=-x²-2x+a（a＞0）上是否存在一點P，使得以P、B、C、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）已知拋物線：y=-x²-2x+a=-（x+1）²+a+1；
∴M（-1，a+1），
易知：A（0，a），設直線MA的解析式為y=kx+b，則有：

b=a -k+b=a+1

，
解得

k=-1 b=a

，
∴直線MA：y=-x+a；

（2）聯立直線MA、直線BN的解析式有：

y=-x+a y= 1 2 x+ 1 2 a

，
解得

x= a 3 y= 2a 3

故N（

a

3

，

2

3

a）；
由題意知：N、N′關于x軸對稱，那么N′（

a

3

，-

2a

3

）；
若點N′在拋物線的圖象上，則有：
-（

a

3

）²-

2a

3

+a=-

2a

3

，
解得a=9．
故點N′恰好落在拋物線上時，a=9；

（3）分別過B、C、N作NC、BN、BC的平行線（如圖），則四邊形BP₁CN、四邊形BCP₂N、四邊形BCNP₃都是平行四邊形；
易知B（-a，0），C（a，0），N（

a

3

，

2a

3

）；
故P₁（-

1

3

a，-

2

3

a），P₂（

7

3

a，

2

3

a），
P₃（-

5

3

a，

2

3

a）；
把P₁代入拋物線的解析式中，得：
-（-

1

3

a）²-2（-

1

3

a）+a=-

2

3

a，
解得a=21；
把P₂代入拋物線的解析式中，得：
-（

7

3

a）²-2×

7

3

a+a=

2

3

a，
解得a=-

39

49

；
由于a＞0，
故此種情況不成立；
把P₃代入拋物線的解析式中，得：
-（-

5

3

a）²-2（-

5

3

a）+a=

2

3

a，
解得a=

33

25

；
綜上所述，存在符合條件的P點，且此時a的值為：a₁=

33

25

，a₂=21．