Question

設(shè)a、b、c、d都是正整數(shù)，并且a⁵=b⁴，c³=d²，c-a=19，求d-b的值．

Answer 1

分析：根據(jù)已知a⁵=b⁴，c³=d²，得出a，b，c，d之間的關(guān)系，進而求出（

d

c

+

b2

a2

）（

d

c

-

b2

a2

）=19，進一步得出

d

c

=10，

b2

a2

=9，從而可以求出d-b的值．

解答：解：由a⁵=b⁴得：a=

b4

a4

=(

b2

a2

) 2，
由c³=d²得：c=

d2

c2

=（

d

c

）²；
代入c-a=19得
（

d

c

）²-(

b2

a2

) 2=19，
（

d

c

+

b2

a2

）（

d

c

-

b2

a2

）=19，
很明顯，前一個括號的值大于后一個括號的，所以必有：

d

c

+

b2

a2

=19，

d

c

-

b2

a2

=1，
上面兩式相加，整理得：

d

c

=10，即d=10c；
上面兩式相減，整理得：

b2

a2

=9，即b²=9a²，
解得：b=3a．
因為d=10c，b=3a，a⁵=b⁴，c³=d²，
所以 c³=d²=（10c）²=100c²，
解得c=100，從而d=10c=1000；
由c-a=19，
得a=c-19=100-19=81，
從而b=243．
綜上，d-b=1000-243=757．
故d-b的值為757．

點評：此題主要考查了整數(shù)問題的綜合應(yīng)用，由已知整理出a、b、c、d的關(guān)系，得出

d

c

+

b2

a2

=19，

d

c

-

b2

a2

=1，從而得出

d

c

=10，

b2

a2

=9，是解決問題的關(guān)鍵．