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如圖,已知A、B兩點的坐標分別為(4,0)、(0,2),P是△AOB外接圓上的一點,且∠AOP=45°,反比例函數圖象經過點P,則k的值為   
【答案】分析:連接BP,AP,利用勾股定理在Rt△ABO中求出AB2=BO2+OA2=4+16=20,再證明BP=PA,過P作PD⊥OA,在Rt△ABP中,首先求出OD=DP,再利用勾股定理求出DP的長,進而求出P點坐標,再利用待定系數法求出反比例函數關系式中的k.
解答:解:連接BP,AP,
在Rt△ABO中,
AB2=BO2+OA2
∵A、B兩點的坐標分別為(4,0)、(0,2),
∴OA=4,OB=2,
∴AB2=BO2+OA2=4+16=20,
∵∠AOP=45°,
∴∠PBA=45°,
∵∠BPA=90°,
∴∠PAB=45°,
∴BP=PA,
在Rt△ABP中,
AB2=BP2+PA2
∴BP=AP=
過P作PD⊥OA,
∵∠AOP=45°,
∴∠OPD=45°,
∴PD=OD,
設OD=DP=x,則AD=4-x,
在Rt△ADP中,
AP2=DP2+DA2
∴10=x2+(4-x)2
解得:x=1(不合題意,舍去)或3,
∴P(3,3)
∵反比例函數圖象經過點P
∴k=3×3=9,
故答案為:9.
點評:此題主要考查了勾股定理,圓周角定理,與待定系數法求反比例函數關系式,是一個綜合題,正確作出輔助線,求出P點坐標是做題的關鍵.
練習冊系列答案
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精英家教網如圖,已知A、C兩點在雙曲線y=
1x
上,點C的橫坐標比點A的橫坐標多2,AB⊥x軸,CD⊥x軸,CE⊥AB,垂足分別是B、D、E.
(1)當A的橫坐標是1時,求△AEC的面積S1
(2)當A的橫坐標是n時,求△AEC的面積Sn
(3)當A的橫坐標分別是1,2,…,10時,△AEC的面積相應的是S1,S2,…,S10,求S1+S2+…+S10的值.

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3
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如圖,已知A、B兩點的坐標分別為(2
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,0)、(0,2),P是△AOB外接圓上的一點,且∠AOP=45°,則點P的坐標為
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+1,
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+1)或(
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-1,1-
3
3
+1,
3
+1)或(
3
-1,1-
3

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