Question

（2005•呼和浩特）某公共場所準備改善原有樓梯的安全性能，把傾角為45°減為30°（樓梯高度不變），已知原樓梯長為4m，那么調整的樓梯會增加多長樓梯多占了多長一段地面？（結果可用根式表示）

Answer 1

【答案】分析：在原三角形ABC中，因為∠ABC=∠ACB=45°，且AB=4，則有BC=AC=AB•sin45°=2米．在新三角形ADC中，因為∠D=30°，AC=2，所以DC==2，AD==4，即樓梯增長了（4-4）米，多占地面長度即為可求．
解答：解：根據題意可作圖（見右圖）．
在Rt△ABC中，
∵AB=4，∠ABC=45°，∠D=30°，
∴AC=BC．
∴sin∠ABC=．
在Rt△ACD中，
AC=AB•sin∠ABC
=4×sin45°
=4×
=．
∴sinD=，
∴AD===4（或AD=2AC），
∴AD-AB=（4-4）m．
又∵tanD=，
∴DC==2•=2m．
∴DC-BC=（2-2）m．
答：調整后樓梯會增加（4-4）m，多占地面長為（2-2）m．
點評：本題考查了直角三角形的有關知識，關鍵是把實際問題轉化為數學問題，抽象到直角三角形中解決問題．