Question

為了保護環境，某化工廠一期工程完成后購買了3臺甲型和2臺乙型污水處理設備. 共花費資金54萬元，且每臺乙型設備的價格是每臺甲型設備價格的75％，實際運行中發現，每臺甲型設備每月能處理污水200噸，每臺乙型設備每月能處理污水160 噸，且每年用于每合甲型設備的各種維護費和電費為1萬元，每年用于每臺乙型設備的各種維護費和電費為1. 5萬元. 今年該廠二期工程即將完成，產生的污水將大大增加. 于是該廠決定再購買甲、乙兩型設備共8合用于二期工程的污水處理. 預算本次購買資金不超過84萬元.預計二期工程完成后每月將產生不少于1300 噸污水.    
(1)請你計算每臺甲型設備和每臺乙型設備的價格各是多少元？    
(2)請你求出用于二期工程的污水處理設備的所有購買方案.    
(3)若兩種設各的使用年限都為10年，請你說明在(2)的所有方案中，哪種購買方案的總費用最少？(總費用=設備購買費+各種維護費和電費)

Answer 1

解：(1)設一臺甲型設備的價格為x萬元.
由題3x+2×75%x=54，解得x= 12，
∵12×75% =9.
∴一臺甲型設備的價格為 12 萬元. 一臺乙型設備的價格是 9 萬元.
(2)設二期工程中，購買甲型設備 a 臺.由題意有
，解得：≤a≤4.     
由題意a為正整數.∴a= 1.2.3.4... 購買方案有四種，
分別為：    
方案一：甲型 1 臺.乙型 7 臺；
方案二：甲型  2臺. 乙型 6 臺；
方案三：甲型 3 臺.乙型 5 臺；
方案四：甲型 4 臺.乙型 4 臺.，    
(3)設二期工程 10 年用于治理污水的總費用為W萬元.   
 W= 12a+9(8-a) +1×10a+1. 5 ×10(8-a)
化簡得：W= -2a+192，    
∵W隨a 的增大而減少.
∴當 a=4 時， W 最小(逐一驗算也可).     
∴按方案四甲型購買 4 臺，乙型購買 4 臺的總費用最少.