Question

為迎接中國森博會，某商家計劃從廠家采購A，B兩種產品共20件，產品的采購單價（元/件）是采購數量（件）的一次函數，下表提供了部分采購數據．

采購數量（件）	1	2	…
A產品單價（元/件）	1480	1460	…
B產品單價（元/件）	1290	1280	…

（1）設A產品的采購數量為x（件），采購單價為y₁（元/件），求y₁與x的關系式；
（2）經商家與廠家協商，采購A產品的數量不少于B產品數量的，且A產品采購單價不低于1200元，求該商家共有幾種進貨方案；
（3）該商家分別以1760元/件和1700元/件的銷售單價售出A，B兩種產品，且全部售完，在（2）的條件下，求采購A種產品多少件時總利潤最大，并求最大利潤．

Answer 1

解：（1）設y₁與x的關系式y₁=kx+b，
由表知，
解得k=-20，b=1500，
即y₁=-20x+1500（0＜x≤20，x為整數），

（2）根據題意可得
，
解得11≤x≤15，
∵x為整數，
∴x可取的值為：11，12，13，14，15，
∴該商家共有5種進貨方案；

（3）解法一：令總利潤為W，
則W=30x²-540x+12000，
=30（x-9）²+9570，
∵a=30＞0，
∴當x≥9時，W隨x的增大而增大，
∵11≤x≤15，
∴當x=15時，W_最大=10650；
解法二：根據題意可得B產品的采購單價可表示為：
y₂=-10（20-x）+1300=10x+1100，
則A、B兩種產品的每件利潤可分別表示為：
1760-y₁=20x+260，
1700-y₂=-10x+600，
則當20x+260＞-10x+600時，A產品的利潤高于B產品的利潤，
即x＞=11時，A產品越多，總利潤越高，
∵11≤x≤15，
∴當x=15時，總利潤最高，
此時的總利潤為（20×15+260）×15+（-10×15+600）×5=10650．
分析：（1）設y₁與x的關系式y₁=kx+b，由表列出k和b的二元一次方程，求出k和b的值，函數關系式即可求出；
（2）首先根據題意求出x的取值范圍，結合x為整數，即可判斷出商家的幾種進貨方案；
（3）令總利潤為W，根據利潤=售價-成本列出W與x的函數關系式W=30x²-540x+1200，把一般式寫成頂點坐標式，求出二次函數的最值即可．
點評：本題主要考查二次函數的應用的知識點，解答本題的關鍵是明確銷售單價與銷售件數之間的函數關系式，會表達單件的利潤及總利潤，此題難度一般．