Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，點E是邊AD的中點，連接BE交AC于F，BE的延長線交CD的延長線于G．
（1）求證：；
（2）若GE=2，BF=3，求線段EF的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于AD∥BC，易證得△GED∽△GBC；得GE：GB=DE：BC；已知AE=DE，代換相等線段后即可得出本題要證的結論．
（2）按照（1）的方法，可由AE∥BC，得出AE：BC=EF：FB，再聯立（1）得出的比例關系式，可列出關于EF的方程，即可求得EF的長．
解答：證明：（1）∵AD∥BC
∴∠GED=∠GBC
∵∠G=∠G
∴△GED∽△GBC
∴
∵AE=DE
∴；（3分）

（2）∵AD∥BC
∴△AEF∽△CBF（4分）
∴（5分）
由（1）問
∴（6分）
設EF=x，∵GE=2，BF=3
∴（7分）
∴x₁=1，x₂=-6（不合題意，舍去）
∴EF=1．（9分）
點評：此題主要考查了梯形的性質，以及相似三角形的判定和性質和解一元二次方程．