Question

如圖所示，在平行四邊形ABCD中，∠ABC的角平分線分別交AC，AD于E，F點，EG⊥BC，若BA=6，AC=8，AD=10．
（1）求FD的長；
（2）求△BEC的面積．

Answer 1

分析：（1）由題中線段的長度，根據勾股定理可判定△ABC為直角三角形，∠BAC=90°，再由平行四邊形的性質及角平分線可推出AB=AF=6，則FD可求．
（2）由平行四邊形的性質可證昨△AEF∽△CEB，利用相似比可求出EC的長，則AE的長可求，根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等，則EG=AE，△BEC的面積可求．

解答：解：（1）∵平行四邊形ABCD，
∴BC=AD=10，AB=CD=6，AD∥BC，
在△ABC中，BA=6，AC=8，BC=10，由勾股定理的逆定理得BA²+AC²=BC²，
∴△ABC為Rt△，∠BAC=90°，
∵AD∥BC，
∴∠CBF=∠AFB，∠DAE=∠BCE，
又∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF，
∴∠ABF=∠AFB，
∴AF=AB=6（等角對等邊），
∴FD=AD-AF=10-6=4．

（2）由（1）知△AEF∽△CEB，
∴AF：BC=AE：EC，
∴AF：（AF+BC）=AE：（AE+EC）即6：（6+10）=AE：8，
∴AE=3
∵E是∠ABC的平分線BF上的點，EG⊥BC，EA⊥AB，
∴EG=AE=3，
S_△BEC=

1

2

×10×3=15．

點評：本題主要考查了平行四邊形的性質，勾股定理的逆定理，角平分線上的點、相似三角形等內容，比較復雜．