Question

13、如圖，正方形ABCD和正方形CGEF（CG＞BC），連接AE，取線段AE的中點M．
證明：FM⊥MD，且FM=MD．

Answer 1

分析：過點E作AD的平行線分別交DM、DC的延長線于N、H，連接DF、FN．求證△AMD≌△EMN，根據(jù)正方形ABCD和CGEF證明∠DCF=∠5=∠NEF，進(jìn)而求證△DCF≌△NEF，求證∠CFN=90°．

解答：證明：如圖，過點E作AD的平行線分別交DM、DC的延長線于N、H，連接DF、FN．
∴∠ADC=∠H，∠3=∠4．∵AM=ME，∠1=∠2，
∴△AMD≌△EMN
∴DM=NM，AD=EN．
∵ABCD和CGEF是正方形，
∴AD=DC，F(xiàn)C=FE，∠ADC=∠FCG=∠CFE=90°，
∠5=∠6=90°-∠NEG=∠NEF，DC=AD=NE．
又∵∠H=90°，
∴∠DCF+∠7=∠5+∠7=90°
∴∠DCF=∠5=∠NEF
∵FC=FE，∴△DCF≌△NEF．
∴FD=FN，∠DFC=∠NEF．
∵∠CFE=90°，∴∠DFN=90°，即△DFN為等腰直角三角形．
又DM=MN，∴FM⊥MD，MF=MD．

點評：本題考查了正方形各邊相等且各內(nèi)角為直角的性質(zhì)，考查了全等三角形的判定和對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中求證△DCF≌△NEF是解題的關(guān)鍵．