Question

有一塊直角三角形鐵皮，兩條直角邊長分別為30cm和40cm，現需在其內部裁出一塊面積盡量大的矩形鐵皮ABCD，設矩形鐵皮的一邊AB=xcm．當x取何值時，矩形鐵皮的面積最大？最大值是多少？

Answer 1

分析：表示出矩形的長與寬，進而可表示出矩形面積，再利用配方法，求出最大值．

解答：解：如圖，AF=40cm，AE=30cm，AB=xcm，則CD=xcm，
∵CD∥AF，
∴△EDC∽△EAF，
∴

CD

AF

=

ED

AE

，
∴

x

40

=

DE

30

，
則DE=

3

4

x，
∴AD=30-

3

4

x，
則矩形鐵皮的面積：
S=AD×AB=x×（30-

3

4

x）=-

3

4

x2+30x=-

3

4

（x-20）2+300（0＜x＜40），
則x=20時，最大面積為300cm²．

點評：本題考查了二次函數模型的構建以及相似三角形的性質與判定等知識，解題的關鍵是構建二次函數模型，利用配方法求函數的最值．