Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為(3，0)，與y軸交于點(diǎn)C（0，－3），點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

（1）求二次函數(shù)解析式；

（2）連接PO，PC，并將△POC沿y軸對(duì)折，得到四邊形.是否存在點(diǎn)P，使四邊形為菱形？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ABPC的面積最大？求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積.

 

Answer 1

【答案】

解：（1）將B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得

， 解得。

∴二次函數(shù)的解析式為。

（2）存在。如圖1，假設(shè)拋物線上存在點(diǎn)P，使四邊形為菱形，連接交CO于點(diǎn)E。

∵四邊形為菱形， K∴PC=PO，且PE⊥CO。

∴OE=EC=，即P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為。

由解得：

（不合題意，舍去）。

∴存在這樣的點(diǎn)，此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）。

（3）如圖2，連接PO，作PM⊥x于M，PN⊥y于N。設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，），

由=0，得點(diǎn)A坐標(biāo)為（－1，0）。

∴AO=1，OC=3， OB=3，PＭ=，PN＝x。

∴S_{四邊形ABPC}=++

=AO·OC+OB·PM+OC·PN

=×1×3+×3×()+×3×x

==。

∴當(dāng)x=時(shí)，四邊形ABPC的面積最大．此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（，），四邊形ABPC的最大面積為。

【解析】

試題分析：（1）直接把B（3，0）、C（0，－3）代入可得到關(guān)于b、c的方程組，解方程組求得b，c，則從而求得二次函數(shù)的解析式。

（2）假設(shè)拋物線上存在點(diǎn)P，使四邊形為菱形，連接交CO于點(diǎn)E，則PO=PC，根據(jù)翻折的性質(zhì)得OP′=OP，CP′=CP，易得四邊形POP′C為菱形，又E點(diǎn)坐標(biāo)為（0， ），則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為，把y= 

代入可求出對(duì)應(yīng)x的值，然后確定滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)。

（3）由S_{四邊形ABPC}=++求出S_{四邊形ABPC}關(guān)于P點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)表達(dá)式，應(yīng)用二次函數(shù)的最值原理求解。