Question

如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于E，OF⊥AC于F．
（1）請寫出三條與BC相關(guān)的正確結(jié)論；（不必證明）
（2）若∠D=30°，BC=2，求出圓中陰影的面積．

Answer 1

分析：（1）由CD⊥AB，根據(jù)垂徑定理得到AB平分BD弧，得到BC=BD；又AB是⊙O的直徑，根據(jù)圓周角的推論得到∠ACB=90°，而OF⊥AC，則OF為△ACB的中位線，即可得到BC于OF的關(guān)系；
（2）連接OC，根據(jù)圓周角定理得到∠BOC=2∠D=60°，得到△BOC是等邊三角形，⊙O的半徑OC=2，則∠AOC=120°，OF=1，根據(jù)扇形的面積公式計(jì)算出扇形OAC的面積；又在直角△ABC中，AC=

3

BC=2

3

，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算出△AOC的面積，然后利用S_陰影=S_扇形AOC-S_△AOC計(jì)算即可．

解答：解：（1）BC=BD，BC=2OF，BC∥OF；

（2）連接OC，如圖，
∵∠D=30°
∴∠BOC=60°，
又∵OB=OC，
∴△BOC是等邊三角形，⊙O的半徑OC=2，
∴∠AOC=120°，OF=1，
∴S_扇形AOC=

1

3

πR2=

4

3

π，
∵AB是直徑
∴∠ACB=90°，∠A=∠D=30°
在直角△ABC中，AC=

3

BC=2

3

，
∴S_△AOC=

1

2

AC×OF=

3

，
∴S_陰影=S_扇形AOC-S_△AOC=

4

3

π-

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分所所對的弧；也考查了圓周角定理及其推論、扇形的面積公式以及含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．