Question

如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的兩邊分別在x軸和y軸上，OA=10厘米，OC=6厘米，現有兩動點P，Q分別從O，A同時出發，點P在線段OA上沿OA方向作勻速運動，點Q在線段AB上沿AB方向作勻速運動，已知點P的運動速度為1厘米/秒．
（1）設點Q的運動速度為0.5厘米/秒，運動時間為t秒，
①當△CPQ的面積最小時，求點Q的坐標；
②當△COP和△PAQ相似時，求點Q的坐標．
（2）設點Q的運動速度為a厘米/秒，問是否存在a的值，使得△OCP與△PAQ和△CBQ這兩個三角形都相似？若存在，請求出a的值，并寫出此時點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為無法直接求△CPQ的面積，只好用梯形的面積減去兩個三角形的面積，得到關于t的二次函數，求最小值就可以了，從而得到t的值，就可求出Q的坐標．利用三角形的相似，可以得到比例線段，求出t的值，就可以求出Q點的坐標．
（2）利用三角形的相似，得到比例線段，解關于a、t的二元一次方程即可，那么Q點的坐標就可求．
解答：解：（1）①先設兩點運動的時間是t時，△CPQ面積最�。�
S_△CPQ=S_梯形QCOA-S_△COP-S_△APQ=（AQ+OC）×OA-AP•AQ-OC•OP
=（0.5t+6）×10-×0.5t×（10-t）-×6×t
=（t-6）²+21
∵a=＞0，
∴當t=6時，S_△CPQ有最小值，
那么AQ=0.5t=0.5×6=3，
∴Q點的坐標是（10，3）．
②△COP和△PAQ相似，有△COP∽△PAQ和△COP∽△QAP兩種情況：
（i）當△COP∽△PAQ時：
∴=，
∴=，
即t²-7t=0，
解得，t₁=0（不合題意，舍去），t₂=7．
∴t=7，
∴AQ=0.5t=0.5×7=3.5．
∴Q點的坐標是（10，3.5）．

（ii）當△COP∽△QAP時：
=，
∴=，
即t²+12t-120=0
解得：t₁=-6+2，t₂=-6-2（不合題意，舍去）
∴AQ=0.5t=-3+．
∴Q點的坐標是（10，-3+）；

（2）∵△COP∽△PAQ∽△CBQ，
∴，
即，
解得，t₁=2，t₂=18，
又∵0＜t＜10，
∴t=2．代入任何一個式子，可求a=．
∴AQ=at=
∴Q點的坐標是（10，）．
點評：本題利用了梯形、三角形的面積公式，相似三角形的性質，關鍵要會用含t的代數式表示線段的長，還用到了二次函數求最小值的知識（當a＞0時，二次函數有最小值），矩形的性質以及路程等于速度乘以時間等知識．