Question

如圖，已知二次函數的圖像過點A(－4，3），B(4，4).
（1）求二次函數的解析式：
（2）求證：△ACB是直角三角形；
（3）若點P在第二象限，且是拋物線上的一動點，過點P作PH垂直x軸于點H，是否存在以P、H、D、為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：
（1）將A(－4，3），B(4，4)代人中，
 ， 整理得： 解得
∴二次函數的解析式為：，即：。                         
（2）由 整理得 ，解得。
∴C （－2，0），D 。
∴AC²="4+9" ，BC²=36+16，AC²+ BC²=13+52=65，AB²=64+1=65，
∴ AC²+ BC²=AB²。∴△ACB是直角三角形。
（3）設（x<0），則PH=， HD=。
又∵AC=， BC=，
①當△PHD∽△ACB時有：，即：，
整理得 ，解得（舍去），此時，。
∴。
②當△DHP∽△ACB時有：， 即：，
整理 ，解得（舍去），此時，。
∴。
綜上所述，滿足條件的點有兩個即，。

解析