Question

已知拋物線的頂點(diǎn)是C(0，a)（a>0，a為常數(shù)），并經(jīng)過點(diǎn)(2a，2a)，點(diǎn)D(0，2a)為一定點(diǎn)．

【小題1】求含有常數(shù)a的拋物線的解析式
【小題2】設(shè)點(diǎn)P是拋物線上任意一點(diǎn)，過P作PH⊥x軸，垂足是H，求證：PD＝PH；
【小題3】設(shè)過原點(diǎn)O的直線l與拋物線在第一象限相交于A、B兩點(diǎn)．若DA＝2DB，且S△ABD＝4，求a的值．

Answer 1

p;【答案】
【小題1】y= x²+a 
【小題2】見解析
【小題3】a = 2解析:
p;【解析】（1）設(shè)拋物線的解析式為y=kx²+a 
∵點(diǎn)D（2a，2a）在拋物線上
4a²k+a = 2a     ∴k =  
∴拋物線的解析式為y= x²+a 
（2）設(shè)拋物線上一點(diǎn)P（x，y），過P作PH⊥x軸，PG⊥y軸，在Rt△GDP中，
由勾股定理得：PD²=DG²+PG²=(y–2a)²+x² =y² – 4ay+4a²+x²  
∵y= x²+a  ∴x² =" 4a" ´ (y– a)=" 4ay–" 4a² 
∴PD ²= y²– 4ay+4a² +4ay– 4a²= y² =PH²
∴PD = PH 
（3）過B點(diǎn)BE ⊥ x軸，AF⊥x軸

由（2）的結(jié)論：BE=DB  AF=DA
∵DA=2DB  ∴AF=2BE  ∴AO = 2BO
∴B是OA的中點(diǎn)∴C是OD的中點(diǎn)
連結(jié)BC
∴BC=  =  =" BE" = DB
過B作BR⊥y軸
∵BR⊥CD   ∴CR=DR，OR=" a" +  =  
∴B點(diǎn)的縱坐標(biāo)是，又點(diǎn)B在拋物線上
∴ = x²+a   ∴x² =2a^2，∵x>0      ∴x = a，∴B (a， ) 
AO = 2OB， ∴S_△ABD=S_△OBD = 4
所以，´2a´a= 4
∴a²= 4   ∵a>0  ∴a = 2