Question

【題目】在平面直角坐標系中，正方形ABCD的四個頂點坐標分別為A(-2,4)，B(-2，-2)，C(4，-2)，D(4,4).

(1)填空：正方形的面積為_______；當雙曲線(k≠0)與正方形ABCD有四個交點時，k的取值范圍是_______.

(2)已知拋物線L：(a>0)頂點P在邊BC上，與邊AB，DC分別相交于點E，F，過點B的雙曲線(k≠0)與邊DC交于點N.

①點Q(m，-m2-2m+3)是平面內一動點，在拋物線L的運動過程中，點Q隨m運動，分別求運動過程中點Q在最高位置和最低位置時的坐標.

②當點F在點N下方，AE=NF，點P不與B，C兩點重合時，求的值.

③求證：拋物線L與直線的交點M始終位于軸下方.

Answer 1

【答案】(1)36；0<k<4或-8<k<0；(2)①最高點(-1,4)；最低點(4，-21)；②；③證明見解析.

【解析】

（1）由坐標求出正方形的邊長，即可求出面積，討論反比例函數在一、三象限和二、四象限時，利用數形結合求出k的范圍；

（2）①由題意可知，，

分，和分別討論Q點符合條件的坐標；

②將點B（-2，-2）代入雙曲線，可求k=4和N（4，1），再表示出點E和F，可推出BE=，CF= ， ，再根據AE=NF可推出，進而可求的值；

③由題意得，M，，當m=1時，最小為，當或4時，最大為，再分別討論當m=4時,根據E點不與B點重合，列出不等式可得，當時， F點不與C點重合列出不等式可得，即可得證.

解：（1）由點A（-2，4），B（-2，-2）可知正方形的邊長為6，

∴正方形面積為36；

當反比例函數在一、三象限時，若經過B（-2，-2）則，若經過D(4,4)，則，根據圖像特征，要有4個交點，則0<k<4；

當反比例函數在二、四象限時，若經過A(-2,4)則，若經過C(4，-2)則，根據圖像特征，要有4個交點，則-8<k<0，

綜上，k的取值范圍是0<k<4或-8<k<0.

（2）①由題意可知，，

當m=-1，最大=4，在運動過程中點Q在最高位置時的坐標為（-1，4）

當m<-1時，隨m的增大而增大，當m=-2時，最小=3，

當m>-1時，隨m的增大而減小，當m=4時，最小=-21，

3>-21，∴最小=-21，點Q在最低位置時的坐標（4，-21）

∴在運動過程中點Q在最高位置時的坐標為（-1，4），最低位置時的坐標為（4，-21）

②將點B（-2，-2）代入雙曲線得 ，∴k=4，∴反比例函數解析式為

N點橫坐標x=4，代入得，∴N（4，1）

由頂點P（m，n）在邊BC上，∴，BP=，CP=

E點橫坐標x=-2，F點橫坐標x=4，分別代入拋物線可得

E，F，

∴BE=，CF= ，

∴，

又∵AE=NF，點F在點N下方，

∴

化簡得，∴

③由題意得，M，，

∵二次函數對稱軸為m=1，，

∴當m=1時，取得最小值為，

當或4時，最大為，

當m=4時，拋物線L為，

E點橫坐標為-2，代入拋物線得，∴E

F點橫坐標為x=4，代入拋物線得，∴

∵E點在AB邊上，且此時不與B重合，

∴，解得

∴，∴

當時，拋物線L為

同理可得E，F

∵F在CD邊上，且此時不與C重合

∴，解得，

∴，∴

綜上，拋物線L與直線x=1的交點始終位于x軸的下方.