Question

（2006•常德）把兩塊全等的直角三角形ABC和DEF疊放在一起，使三角板DEF的銳角頂點D與三角板ABC的斜邊中點O重合，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=4，把三角板ABC固定不動，讓三角板DEF繞點O旋轉，設射線DE與射線AB相交于點P，射線DF與線段BC相交于點Q．
（1）如圖1，當射線DF經過點B，即點Q與點B重合時，易證△APD∽△CDQ．此時，AP•CQ=______；
（2）將三角板DEF由圖1所示的位置繞點O沿逆時針方向旋轉，設旋轉角為α．其中0°＜α＜90°，問AP•CQ的值是否改變？說明你的理由；
（3）在（2）的條件下，設CQ=x，兩塊三角板重疊面積為y，求y與x的函數關系式．（圖2，圖3供解題用）

Answer 1

【答案】分析：（1）可通過證△APD∽△CDQ來求解．
（2）不會改變，關鍵是還是證△APD∽△CDQ，已知了一組45°角，關鍵是證（1）中的∠APD=∠QDC，由于圖2由圖1旋轉而得，根據旋轉的性質可設旋轉角為α，那么∠APD=90°-α，∠CDQ=90°-α，因此兩角相等．由此可證得兩三角形相似．因此結論不變．
（3）本題分類兩種情況進行討論：①當0°＜α＜45°時②當45°≤α＜90°時．
解答：解：（1）∵∠A=∠C=45°，∠APD=∠QDC=90°，
∴△APD∽△CDQ．
∴AP：CD=AD：CQ．
∴即AP×CQ=AD×CD，
∵AB=BC=4，
∴斜邊中點為O，
∴AP=PD=2，
∴AP×CQ=2×4=8；
故答案為：8．

（2）AP•CQ的值不會改變．
理由如下：
∵在△APD與△CDQ中，∠A=∠C=45°，
∠APD=180°-45°-（45°+α）=90°-α，
∠CDQ=90°-α，
∴∠APD=∠CDQ．
∴△APD∽△CDQ．
∴．
∴AP•CQ=AD•CD=AD²=（AC）²=8．

（3）情形1：當0°＜α＜45°時，2＜CQ＜4，即2＜x＜4，
此時兩三角板重疊部分為四邊形DPBQ，過D作DG⊥AP于G，DN⊥BC于N，
∴DG=DN=2
由（2）知：AP•CQ=8得AP=
于是y=AB•BC-CQ•DN-AP•DG
=8-x-（2＜x＜4）
情形2：當45°≤α＜90°時，0＜CQ≤2時，即0＜x≤2，此時兩三角板重疊部分為△DMQ，
由于AP=，PB=-4，易證：△PBM∽△DNM，
∴即解得．
∴MQ=4-BM-CQ=4-x-．
于是y=MQ•DN=4-x-（0＜x≤2）．
綜上所述，當2＜x＜4時，y=8-x-．
當0＜x≤2時，y=4-x-（或y=）．
點評：本題主要考查了相似三角形的判定和性質、等腰直角三角形的性質以及二次函數等知識的綜合應用．